Kvadratická rovnica je rovnica, ktorej najvyšší stupeň je 2 (na druhú). Existujú tri hlavné spôsoby, ako vyriešiť kvadratickú rovnicu: faktoring kvadratickej rovnice, ak je to možné, pomocou kvadratického vzorca alebo dokončenie štvorca. Ak chcete zvládnuť tieto tri metódy, postupujte podľa týchto krokov.
Krok
Metóda 1 z 3: Faktory faktoringu
Krok 1. Skombinujte všetky rovnaké premenné a presuňte ich na jednu stranu rovnice
Prvým krokom k faktoringu rovnice je presunutie všetkých rovnakých premenných na jednu stranu rovnice s x2je pozitívny. Ak chcete kombinovať premenné, sčítajte alebo odčítajte všetky premenné x2, x a konštanty (celé čísla) ich presuňte na druhú stranu rovnice, aby na druhej strane nič nezostalo. Ak druhá strana nemá žiadne zostávajúce premenné, napíšte 0 vedľa znamienka rovnosti. Postupujte takto:
- 2x2 - 8x - 4 = 3x - x2
- 2x2 +x2 - 8x -3x - 4 = 0
- 3x2 - 11x - 4 = 0
Krok 2. Faktor tejto rovnice
Na faktorovanie tejto rovnice musíte použiť faktor x2 (3) a konštantný faktor (-4), ich vynásobením a sčítaním tak, aby zodpovedali premennej v strede, (-11). Postupujte takto:
- 3x2 má iba jeden možný faktor, ktorý je, 3x a x, môžete ich napísať do zátvoriek: (3x +/-?) (x +/-?) = 0.
- Potom pomocou procesu eliminácie zahrňte číslo 4 a nájdite produkt, ktorý poskytne -11x. Môžete použiť súčin 4 a 1 alebo 2 a 2, pretože keď vynásobíte obe, získate 4. Ale nezabudnite, že jedno z čísel musí byť záporné, pretože výsledok je -4.
- Skúste (3x + 1) (x - 4). Keď ho vynásobíte, výsledok je - 3x2 -12x +x -4. Ak spojíte premenné -12 x a x, výsledok je -11x, čo je vaša stredná hodnota. Práve ste založili kvadratickú rovnicu.
- Skúsme napríklad faktorizovať druhý súčin: (3x -2) (x +2) = 3x2 +6x -2x -4. Ak spojíte premenné, výsledok je 3x2 -4x -4. Aj keď faktory -2 a 2 pri vynásobení produkujú -4, priemer nie je rovnaký, pretože chcete získať hodnotu -11x namiesto -4x.
Krok 3. Predpokladajme, že každá zátvorka je v inej rovnici nula
To vám umožní nájsť 2 x hodnoty, vďaka ktorým bude vaša rovnica nulová. Zohľadnili ste svoju rovnicu, takže stačí predpokladať, že výpočet v každej zátvorke sa rovná nule. Môžete teda napísať 3x + 1 = 0 a x - 4 = 0.
Krok 4. Vyriešte každú rovnicu samostatne
V kvadratickej rovnici existujú 2 hodnoty pre x. Vyriešte každú rovnicu oddelene presunutím premenných a zapísaním 2 odpovedí pre x takto:
-
Riešiť 3x + 1 = 0
- 3x = -1 ….. odčítaním
- 3x/3 = -1/3 ….. delením
- x = -1/3 ….. zjednodušením
-
Riešenie x - 4 = 0
x = 4 ….. odčítaním
- x = (-1/3, 4) ….. oddelením niekoľkých možných odpovedí, čo znamená, že x = -1/3 alebo x = 4 môžu byť obe správne.
Krok 5. Kontrola x = -1/3 palca (3x + 1) (x -4) = 0:
Tak dostaneme (3 [-1/3] + 1) ([-1/3]-4)? =? 0….. nahradením (-1 + 1) (-4 1/3)? =? 0….. zjednodušením (0) (-4 1/3) = 0….. vynásobením Takže 0 = 0….. Áno, x = -1/3 je pravda.
Krok 6. Kontrola x = 4 palce (3x + 1) (x - 4) = 0:
Tak dostaneme (3 [4] + 1) ([4] - 4)? =? 0….. nahradením (13) (4 - 4)? =? 0….. zjednodušením (13) (0) = 0….. vynásobením Takže, 0 = 0….. Áno, x = 4 je tiež pravda.
Po samostatnom skontrolovaní sú teda obe odpovede správne a dajú sa použiť v rovniciach
Metóda 2 z 3: Použitie kvadratického vzorca
Krok 1. Skombinujte všetky rovnaké premenné a presuňte ich na jednu stranu rovnice
Presuňte všetky premenné na jednu stranu rovnice s hodnotou premennej x2 pozitívne. Zapíšte si premenné so sekvenčnými exponentmi tak, aby x2 najprv napísané, potom nasledujú premenné a konštanty. Postupujte takto:
- 4x2 - 5x - 13 = x2 -5
- 4x2 - X2 - 5x - 13 +5 = 0
- 3x2 - 5x - 8 = 0
Krok 2. Napíšte kvadratický vzorec
Kvadratický vzorec je: b ± b2−4ac2a { displaystyle { frac {-b / pm { sqrt {b^{2} -4ac}}} {2a}}}
Krok 3. Určte hodnoty a, b, a c z kvadratickej rovnice
Premenná a je koeficient x2, b je koeficient premennej x a c je konštanta. Pre 3x. Rovnicu2 -5x -8 = 0, a = 3, b = -5, a c = -8. Napíšte všetky tri.
Krok 4. Nahraďte hodnoty a, b a c v rovnici
Keď poznáte tri hodnoty premenných, vložte ich do rovnice, ako je táto:
- {-b +/- √ (b2 - 4ac)}/2
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - 4(3)(-8))}/2(3) =
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - (-96))}/2(3)
Krok 5. Vykonajte výpočty
Akonáhle ste zadali čísla, urobte matematiku na zjednodušenie kladného alebo záporného znamienka, vynásobenie alebo umocnenie zostávajúcich premenných. Postupujte takto:
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - (-96))}/2(3) =
- {5 +/-√(25 + 96)}/6
- {5 +/-√(121)}/6
Krok 6. Zjednodušte druhú odmocninu
Ak je číslo pod druhou odmocninou perfektný štvorec, dostanete celé číslo. Ak číslo nie je dokonalý štvorec, zjednodušte ho na najjednoduchší koreňový tvar. Ak je číslo záporné a myslíte si, že by malo byť záporné, koreňová hodnota bude komplikovaná. V tomto prípade (121) = 11. Môžete napísať x = (5 +/- 11)/6.
Krok 7. Hľadaj kladné a záporné odpovede
Keď odstránite odmocninu, môžete sa dopracovať k hľadaniu pozitívneho a negatívneho výsledku pre x. Teraz, keď máte (5 +/- 11)/6, môžete napísať 2 odpovede:
- (5 + 11)/6
- (5 - 11)/6
Krok 8. Doplňte kladné a záporné odpovede
Vykonajte matematické výpočty:
- (5 + 11)/6 = 16/6
- (5-11)/6 = -6/6
Krok 9. Zjednodušiť
Na zjednodušenie každej odpovede vydeľte najväčším číslom, ktoré môže rozdeliť obe čísla. Rozdeľte prvý zlomok 2 a druhý delte 6 a našli ste hodnotu x.
- 16/6 = 8/3
- -6/6 = -1
- x = (-1, 8/3)
Metóda 3 z 3: Dokončite námestie
Krok 1. Presuňte všetky premenné na jednu stranu rovnice
Uistite sa, že a alebo premenná x2 pozitívne. Postupujte takto:
- 2x2 - 9 = 12x =
-
2x2 - 12x - 9 = 0
V tejto rovnici je premenná a 2, premenná b je -12 a premenná c je -9
Krok 2. Presuňte premennú alebo konštantu c na druhú stranu
Konštanty sú číselné výrazy bez premenných. Presuňte sa na pravú stranu rovnice:
- 2x2 - 12x - 9 = 0
- 2x2 - 12x = 9
Krok 3. Vydeľte obe strany koeficientom a alebo premennou x2.
Ak x2 nemá premennú a koeficient je 1, tento krok môžete preskočiť. V tomto prípade musíte rozdeliť všetky premenné na 2, a to takto:
- 2x2/2 - 12x/2 = 9/2 =
- X2 - 6x = 9/2
Krok 4. Rozdelte b na 2, zarovnajte ho na štvorce a výsledok pridajte na obe strany
Hodnota b v tomto prípade je -6. Postupujte takto:
- -6/2 = -3 =
- (-3)2 = 9 =
- X2 - 6x + 9 = 9/2 + 9
Krok 5. Zjednodušte obe strany
Faktor premennej na ľavej strane získate (x-3) (x-3) alebo (x-3)2. Pripočítaním hodnôt vpravo získate 9/2 + 9 alebo 9/2 + 18/2, čo je 27/2.
Krok 6. Nájdite druhú odmocninu pre obe strany
Druhá odmocnina z (x-3)2 je (x-3). Odmocninu z 27/2 môžete napísať ako ± √ (27/2). Teda x - 3 = ± √ (27/2).
Krok 7. Zjednodušte korene a nájdite hodnotu x
Na zjednodušenie ± √ (27/2) nájdite perfektný štvorec medzi číslami 27 a 2 alebo toto číslo koeficientujte. Perfektný druhou mocninu z 9 nájdete v 27, pretože 9 x 3 = 27. Ak chcete odobrať 9 z druhej odmocniny, vezmite 9 z koreňa a napíšte 3, odmocninu, mimo odmocniny. Zostávajúcu časť 3 ponechajte v čitateľovi zlomku pod druhou odmocninou, pretože 27 nevypočíta všetky faktory, a napíšte 2 nižšie. Potom presuňte konštantu 3 na ľavej strane rovnice doprava a zadajte svoje dve riešenia pre x:
- x = 3 +(√6)/2
- x = 3 - (√6)/2)
Tipy
- Ako vidíte, koreňové značky úplne nezmiznú. Premenné čitateľa teda nemožno kombinovať (pretože nie sú rovnaké). Nemá zmysel rozdeľovať to na pozitívne alebo negatívne. Môžeme to však rozdeliť rovnakým faktorom, ale IBA ak sú faktory pre obe konštanty rovnaké A koreňový koeficient.
- Ak číslo pod druhou odmocninou nie je dokonalý štvorec, potom je posledných niekoľko krokov trochu odlišných. Tu je príklad:
- Ak je b párne číslo, vzorec sa stane: {-(b/2) +/- (b/2) -ac}/a.
