Koreňová forma je algebraický výraz, ktorý má znak odmocniny (alebo odmocniny alebo vyššie). Tento formulár môže často predstavovať dve čísla, ktoré majú rovnakú hodnotu, aj keď sa na prvý pohľad môžu líšiť (napríklad 1/(sqrt (2) - 1) = sqrt (2) +1). Preto pre tento druh formy potrebujeme „štandardný vzorec“. Ak existujú dve tvrdenia, obe v štandardnom vzorci, ktoré sa líšia, nie sú rovnaké. Matematici súhlasia s tým, že štandardná formulácia kvadratickej formy spĺňa nasledujúce požiadavky:
- Vyhnite sa používaniu zlomkov
- Nepoužívajte zlomkové schopnosti
- Vyhnite sa používaniu koreňovej formy v menovateli
- Neobsahuje násobenie dvoch koreňových foriem
- Čísla pod koreňom už nie je možné rootovať
Praktické využitie je pri skúškach s možnosťou výberu z viacerých odpovedí. Keď nájdete odpoveď, ale vaša odpoveď nie je rovnaká ako dostupné možnosti, skúste ju zjednodušiť na štandardný vzorec. Pretože tvorcovia otázok zvyčajne píšu odpovede v štandardných vzorcoch, urobte to isté so svojimi odpoveďami, aby zodpovedali ich. Pri esejistických otázkach príkazy ako „zjednodušiť odpoveď“alebo „zjednodušiť všetky korene“znamenajú, že študenti musia vykonať nasledujúce kroky, kým nesplnia štandardný vzorec uvedený vyššie. Tento krok je možné použiť aj na riešenie rovníc, aj keď niektoré typy rovníc je jednoduchšie vyriešiť v neštandardných vzorcoch.
Krok
Krok 1. V prípade potreby si prečítajte pravidlá pre používanie koreňov a exponentov (obe sú si rovné - korene sú mocniny zlomkov), ako ich v tomto procese potrebujeme
Tiež si prečítajte pravidlá pre zjednodušenie polynómov a racionálnych foriem, pretože ich budeme musieť zjednodušiť.
Metóda 1 zo 6: Dokonalé štvorce
Krok 1. Zjednodušte všetky korene obsahujúce dokonalé štvorce
Dokonalý štvorec je samotný súčin čísla, napríklad 81, čo je súčin 9 x 9. Na zjednodušenie dokonalého štvorca jednoducho odstráňte druhú odmocninu a napíšte druhú odmocninu čísla.
- Napríklad 121 je perfektný štvorec, pretože 11 x 11 sa rovná 121. Takže koreň (121) na 11 môžete zjednodušiť odstránením koreňového znamienka.
- Aby bol tento krok jednoduchší, musíte si zapamätať prvých dvanásť dokonalých štvorcov: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144
Krok 2. Zjednodušte všetky korene obsahujúce dokonalé kocky
Dokonalá kocka je súčin dvojnásobku čísla dvakrát, napríklad 27, čo je súčin 3 x 3 x 3. Na zjednodušenie koreňovej podoby perfektnej kocky jednoducho odstráňte odmocninu a napíšte druhú odmocninu čísla.
Napríklad 343 je perfektná kocka, pretože je súčinom 7 x 7 x 7. Takže koreň kocky 343 je 7
Metóda 2 zo 6: Konverzia zlomkov na korene
Alebo zmeniť naopak (niekedy to pomôže), ale nemiešajte ich do rovnakého príkazu ako root (5) + 5^(3/2). Budeme predpokladať, že chcete použiť koreňový tvar, a použijeme symboly root (n) pre odmocninu a sqrt^3 (n) pre odmocninu.
Krok 1. Vezmite jeden do sily zlomku a preveďte ho na koreňovú formu, napríklad x^(a/b) = koreň na b mocniny x^a
Ak je druhá odmocnina v zlomkovej forme, preveďte ju na pravidelnú formu. Napríklad druhá odmocnina (2/3) zo 4 = koreň (4)^3 = 2^3 = 8
Krok 2. Preveďte záporné exponenty na zlomky, napríklad x^-y = 1/x^y
Tento vzorec platí iba pre konštantné a racionálne exponenty. Ak máte do činenia s tvarom ako 2^x, nemeňte ho, aj keď problém naznačuje, že x môže byť zlomok alebo záporné číslo
Krok 3 Zlúčiť rovnaký kmeň a zjednodušiť výslednú racionálnu formu.
Metóda 3 zo 6: Odstránenie zlomkov v koreňoch
Štandardný vzorec vyžaduje, aby koreň bol celé číslo.
Krok 1. Pozrite sa na číslo pod odmocninou, ak stále obsahuje zlomok
Ak ešte,…
Krok 2. Zmeňte na zlomok pozostávajúci z dvoch koreňov pomocou koreňa identity (a/b) = sqrt (a)/sqrt (b)
Nepoužívajte túto identitu, ak je menovateľ záporný alebo ak ide o premennú, ktorá môže byť záporná. V takom prípade zlomok najskôr zjednodušte
Krok 3. Zjednodušte každý dokonalý štvorec výsledku
To znamená, že sqrt (5/4) konvertujte na sqrt (5)/sqrt (4) a potom zjednodušte na sqrt (5)/2.
Krok 4. Použite ďalšie metódy zjednodušenia, ako napríklad zjednodušenie zložitých zlomkov, kombinovanie rovnakých výrazov atď
Metóda 4 zo 6: Kombinácia multiplikačných koreňov
Krok 1. Ak násobíte jednu koreňovú formu druhou, skombinujte tieto dve v jednej odmocnine podľa vzorca:
sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (ab). Zmeňte napríklad root (2)*root (6) na root (12).
- Vyššie uvedená identita, sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (ab), je platná, ak číslo pod znakom sqrt nie je záporné. Nepoužívajte tento vzorec, ak a a b sú záporné, pretože urobíte chybu, keď urobíte sqrt (-1)*sqrt (-1) = sqrt (1). Tvrdenie vľavo je -1 (alebo nie je definované, ak nepoužívate komplexné čísla), zatiaľ čo tvrdenie vpravo je +1. Ak sú a a/alebo b záporné, najskôr „zmeňte“znamienko ako sqrt (-5) = i*sqrt (5). Ak je tvar pod koreňovým znamienkom premenná, ktorej znamienko nie je z kontextu známe, alebo môže byť kladné alebo záporné, nechajte ho zatiaľ tak, ako je. Môžete použiť všeobecnejšiu identitu sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (sgn (a))*sqrt (sgn (b))*sqrt (| ab |), ktorá platí pre všetky reálne čísla a a b, ale zvyčajne tento vzorec veľmi nepomáha, pretože zvyšuje zložitosť používania funkcie sgn (signum).
- Táto identita je platná iba vtedy, ak majú tvary koreňov rovnakého zástupcu. Rôzne druhé odmocniny, ako napríklad sqrt (5)*sqrt^3 (7), môžete vynásobiť ich premenou na rovnakú odmocninu. Za týmto účelom dočasne preveďte odmocninu na zlomok: sqrt (5) * sqrt^3 (7) = 5^(1/2) * 7^(1/3) = 5^(3/6) * 7 ^(2/6) = 125^(1/6) * 49^(1/6). Potom pomocou pravidla násobenia vynásobte dve na druhú odmocninu 6125.
Metóda 5 zo 6: Odstránenie štvorcového faktora z koreňa
Krok 1. Rozdelenie nedokonalých koreňov na hlavné faktory
Faktor je číslo, ktoré pri vynásobení iným číslom tvorí číslo - napríklad 5 a 4 sú dva faktory 20. Ak chcete rozbiť nedokonalé korene, napíšte všetky faktory čísla (alebo čo najviac, ak je to možné) číslo je príliš veľké), kým nenájdete perfektný štvorec.
Skúste napríklad nájsť všetky faktory 45: 1, 3, 5, 9, 15 a 45. 9 je faktor 45 a je tiež dokonalým štvorcom (9 = 3^2). 9 x 5 = 45
Krok 2. Z druhej odmocniny odstráňte všetky multiplikátory, ktoré sú dokonalými štvorcami
9 je perfektná druhá mocnina, pretože je súčinom 3 x 3. Vyberte 9 z druhej odmocniny a nahraďte ju 3 pred druhou odmocninou, pričom vnútri druhej odmocniny zostane 5. Ak „vložíte“3 späť do odmocniny, vynásobte ju samým a urobte 9 a ak vynásobíte 5, vráti 45. 3 korene z 5 sú jednoduchým spôsobom vyjadrenia koreňa 45.
To znamená, že sqrt (45) = sqrt (9*5) = sqrt (9)*sqrt (5) = 3*sqrt (5)
Krok 3. Nájdite perfektný štvorec v premennej
Druhá odmocnina druhej mocniny je | a |. Ak je známa premenná kladná, môžete to zjednodušiť na „a“. Druhá odmocnina a na mocninu 3, ak je rozdelená na druhú odmocninu druhou mocninou a - pamätajte, že exponenty sa sčítajú, keď vynásobíme dve čísla mocninou a, takže druhá mocnina krát a rovná sa a tretia sila.
Preto je dokonalý štvorec v tvare kocky na druhú
Krok 4. Odstráňte premennú obsahujúcu perfektný štvorec z druhej odmocniny
Teraz vezmite druhú mocninu z druhej odmocniny a zmeňte ju na | a |. Jednoduchá forma koreňa a na mocninu 3 je | a | koreň a.
Krok 5. Skombinujte rovnaké výrazy a zjednodušte všetky korene výsledkov výpočtu
Metóda 6 zo 6: Racionalizujte menovateľa
Krok 1. Štandardný vzorec vyžaduje, aby menovateľom bolo celé číslo (alebo polynóm, ak obsahuje premennú) čo najviac
-
Ak menovateľ pozostáva z jedného výrazu pod koreňovým znakom, napríklad […]/koreň (5), vynásobte čitateľa aj menovateľa týmto koreňom, aby ste získali […]*sqrt (5)/sqrt (5)*sqrt (5) = […]*koreň (5)/5.
V prípade koreňov kocky alebo vyšších vynásobte príslušným koreňom, aby bol menovateľ racionálny. Ak je menovateľom koreň^3 (5), vynásobte čitateľa a menovateľa číslom sqrt^3 (5)^2
-
Ak menovateľ pozostáva z sčítania alebo odčítania dvoch odmocnin, ako napríklad sqrt (2) + sqrt (6), vynásobte kvantifikátor a menovateľ ich konjugátom, ktorý je rovnakou formou, ale s opačným znamienkom. Potom […]/(root (2) + root (6)) = […] (root (2)-root (6))/(root (2) + root (6)) (root (2) -root (6)). Potom pomocou vzorca identity pre rozdiel dvoch štvorcov [(a + b) (ab) = a^2-b^2] racionalizujte menovateľa, zjednodušte ho (sqrt (2) + sqrt (6)) (sqrt (2) -sqrt (6)) = sqrt (2)^2 -sqrt (6)^2 = 2-6 = -4.
- To platí aj pre menovatele ako 5 + sqrt (3), pretože všetky celé čísla sú koreňmi iných celých čísel. [1/(5 + sqrt (3)) = (5-sqrt (3))/(5 + sqrt (3)) (5-sqrt (3)) = (5-sqrt (3))/(5^ 2-štvorcový (3)^2) = (5-štvorcový (3))/(25-3) = (5-štvorcový (3))/22]
- Táto metóda tiež platí pre pridanie koreňov, ako je sqrt (5) -sqrt (6)+sqrt (7). Ak ich zoskupíte do (sqrt (5) -sqrt (6))+sqrt (7) a vynásobíte (sqrt (5) -sqrt (6))-sqrt (7), odpoveď nie je racionálna forma, ale stále v koreni a+b*(30), kde a a b sú už racionálne čísla. Potom opakujte postup s konjugátmi a+b*sqrt (30) a (a+b*sqrt (30)) (a-b*sqrt (30)) bude racionálne. V zásade platí, že ak môžete tento trik použiť na odstránenie jedného koreňového znaku v menovateli, môžete ho mnohokrát zopakovať, aby ste odstránili všetky korene.
- Túto metódu je možné použiť aj pre menovatele, ktoré obsahujú vyšší koreň, napríklad štvrtý koreň 3 alebo siedmy koreň 9. Vynásobte čitateľa a menovateľa konjugátom menovateľa. Žiaľ, nemôžeme priamo získať konjugát menovateľa a je ťažké to urobiť. Odpoveď môžeme nájsť v algebraickej knihe o teórii čísel, ale nebudem sa tomu venovať.
Krok 2. Menovateľ je teraz v racionálnej forme, ale čitateľ vyzerá neporiadne
Teraz to stačí vynásobiť konjugátom menovateľa. Pokračujte a množte sa, ako by sme násobili polynómy. Skontrolujte, či je možné niektoré výrazy vynechať, zjednodušiť alebo kombinovať, ak je to možné.
Krok 3. Ak je menovateľ záporné celé číslo, vynásobte čitateľa aj menovateľa číslom -1, aby bolo kladné
Tipy
- Môžete online vyhľadať stránky, ktoré môžu pomôcť zjednodušiť koreňové formuláre. Stačí zadať rovnicu so znamienkom root a po stlačení klávesu Enter sa zobrazí odpoveď.
- V prípade jednoduchších otázok nemôžete použiť všetky kroky v tomto článku. Pri zložitejších otázkach budete možno musieť použiť niekoľko krokov viackrát. Niekoľkokrát použite „jednoduché“kroky a skontrolujte, či vaša odpoveď vyhovuje štandardným kritériám formulácie, o ktorých sme hovorili vyššie. Ak je vaša odpoveď v štandardnom vzorci, ste hotoví; ale ak nie, môžete skontrolovať jeden z vyššie uvedených krokov, ktorý vám pomôže dokončiť to.
- Väčšina odkazov na „odporúčaný štandardný vzorec“pre formu koreňov sa vzťahuje aj na komplexné čísla (i = koreň (-1)). Aj keď príkaz obsahuje namiesto koreňa „i“, vyhýbajte sa menovateľom, ktoré stále obsahujú i, čo najviac.
- Niektoré z pokynov v tomto článku predpokladajú, že všetky korene sú štvorce. Rovnaké všeobecné zásady platia aj pre korene vyšších mocností, aj keď s niektorými časťami (najmä racionalizáciou menovateľa) môže byť dosť ťažké pracovať. Rozhodnite sa sami, aký tvar chcete, napríklad sqr^3 (4) alebo sqr^3 (2)^2. (Nepamätám si, aká forma sa zvyčajne navrhuje v učebniciach).
- Niektoré z pokynov v tomto článku používajú na označenie „bežnej formy“slovo „štandardný vzorec“. Rozdiel je v tom, že štandardný vzorec akceptuje iba tvar 1+sqrt (2) alebo sqrt (2) +1 a ostatné formy považuje za neštandardné; Obyčajný tvar predpokladá, že vy, čitateľ, ste dostatočne múdry na to, aby ste videli „podobnosť“týchto dvoch čísel, aj keď nie sú písomne totožné („rovnaké“znamená ich aritmetickú vlastnosť (komutatívne sčítanie), nie ich algebraickú vlastnosť (koreň) (2) je koreň nezáporný z x^2-2)). Dúfame, že čitatelia pochopia miernu neopatrnosť pri používaní tejto terminológie.
- Ak sa vám niektorá z indícií zdá byť nejednoznačná alebo protirečivá, urobte všetky kroky, ktoré sú jednoznačné a konzistentné, a potom vyberte požadovaný tvar.
