Naučiť sa zjednodušovať algebraické výrazy je jedným z kľúčov k zvládnutiu základnej algebry a najužitočnejším nástrojom, ktorý každý matematik potrebuje mať. Zjednodušenie umožňuje matematikom prevádzať zložité, dlhé a/alebo nepárne výrazy na jednoduchšie alebo jednoduchšie ekvivalentné výrazy. Naučiť sa základné zjednodušovacie schopnosti je veľmi jednoduché - dokonca aj pre tých, ktorí nenávidia matematiku. Nasledovaním niekoľkých jednoduchých krokov je možné zjednodušiť mnohé z najčastejšie používaných typov algebraických výrazov bez použitia špeciálnych znalostí matematiky. Začnite vykonaním kroku 1!
Krok
Pochopenie dôležitých pojmov
Krok 1. Zoskupte výrazy podľa ich premenných a právomocí
V algebre majú podobné výrazy rovnakú variabilnú konfiguráciu s rovnakým výkonom. Inými slovami, aby boli dva výrazy rovnaké, musia mať rovnakú premennú alebo žiadnu premennú a každá premenná má rovnakú mocnosť alebo nemá žiadny exponent. Poradie premenných v pojmoch nie je dôležité.
Napríklad 3x2 a 4x2 sú ako termíny, pretože obidva majú premennú x so silou štvorca. Avšak x a x2 nie sú ako termíny, pretože každý výraz má premennú x s inou mocninou. Takmer rovnaké, -3yx a 5xz nie sú ako výrazy, pretože každý výraz má inú premennú.
Krok 2. Faktor zapísaním čísla ako súčinu týchto dvoch faktorov
Faktoring je koncept zapísania daného čísla ako súčinu dvoch násobených faktorov. Čísla môžu mať viac ako jednu sadu faktorov - napríklad 12 je možné získať z 1 × 12, 2 × 6 a 3 × 4, takže môžeme povedať, že 1, 2, 3, 4, 6 a 12 sú faktory z 12 Ďalší spôsob predstavy je, že činiteľmi čísla sú čísla, ktoré delia celé číslo.
- Ak by sme napríklad chceli faktor 20, mohli by sme ho napísať ako 4 × 5.
- Všimnite si toho, že variabilné výrazy môžu byť tiež započítané. -20x, napríklad, môže byť zapísané ako 4 (5x).
- Prvočísla nie je možné započítať, pretože ich možno rozdeliť iba sami a 1.
Krok 3. Na skratku poradia operácií použite skratku KaPaK BoTaK
Niekedy zjednodušenie výrazu jednoducho vyrieši operáciu v rovnici, až kým prestane fungovať. V týchto prípadoch je veľmi dôležité zapamätať si poradie operácií, aby nedošlo k žiadnym aritmetickým chybám. Skratka KaPaK BoTaK vám pomôže zapamätať si poradie operácií - písmená označujú typy operácií, ktoré by ste mali vykonať, v tomto poradí:
- Kzlyhať
- Pzdvihnúť
- Kali
- Bznova
- Tpridať
- Kkrevety
Metóda 1 z 3: Zlúčiť podobné podmienky
Krok 1. Napíšte svoju rovnicu
Najjednoduchšie algebraické rovnice, obsahujúce iba niekoľko variabilných výrazov s celočíselnými koeficientmi a bez zlomkov, koreňov atď., Je možné často vyriešiť iba niekoľkými krokmi. Pri väčšine matematických úloh je prvým krokom k zjednodušeniu rovnice jej zapísanie!
Ako príklad problému v nasledujúcich niekoľkých krokoch používame výraz 1 + 2x - 3 + 4x.
Krok 2. Identifikujte podobné kmene
Ďalej vyhľadajte vo svojej rovnici podobné výrazy. Nezabudnite, že podobné výrazy majú rovnakú premennú a exponent.
Identifikujme napríklad podobné výrazy v našej rovnici 1 + 2x - 3 + 4x. 2x a 4x majú rovnakú premennú s rovnakým výkonom (v tomto prípade x nemá exponent). Tiež 1 a -3 sú podobné výrazom, pretože nemajú žiadne premenné. Takže v našej rovnici, 2x a 4x a 1 a -3 sú podobné kmene.
Krok 3. Skombinujte podobné výrazy
Teraz, keď ste identifikovali podobné výrazy, môžete ich skombinovať a zjednodušiť tak svoju rovnicu. Sčítaním výrazov (alebo odčítaním v prípade záporných výrazov) zredukujete množinu výrazov s rovnakou premennou a exponentom na jeden rovnaký výraz.
-
V našom príklade pridajme podobné výrazy.
- 2x + 4x = 6x
- 1 + -3 = - 2
Krok 4. Zo zjednodušených výrazov vytvorte jednoduchšiu rovnicu
Po skombinovaní podobných výrazov vytvorte rovnicu z nového menšieho súboru výrazov. Získate jednoduchšiu rovnicu, ktorá má jeden výraz pre rôzne sady premenných a mocnin v pôvodnej rovnici. Táto nová rovnica je ekvivalentná pôvodnej rovnici.
V našom prípade sú naše zjednodušené výrazy 6x a -2, takže naša nová rovnica je 6x - 2. Táto jednoduchá rovnica je ekvivalentná originálu (1 + 2x - 3 + 4x), ale je kratšia a práca s ňou je jednoduchšia. Je tiež jednoduchšie faktorizovať, na čo sa pozrieme nižšie, čo je ďalšia dôležitá zjednodušujúca zručnosť.
Krok 5. Pri kombinovaní podobných výrazov postupujte podľa poradia operácií
Vo veľmi jednoduchých rovniciach, ako sme pracovali na vyššie uvedenom príklade, je ľahké identifikovať podobné výrazy. V zložitejších rovniciach, ako sú výrazy zahŕňajúce zátvorky, zlomky a korene, však podobné výrazy, ktoré je možné kombinovať, nemusia byť jasne viditeľné. V týchto prípadoch postupujte podľa poradia operácií a podľa potreby vykonávajte operácie s výrazmi vo svojom výraze, kým nezostanú operácie sčítania a odčítania.
-
Použime napríklad rovnicu 5 (3x -1) + x ((2x)/(2)) + 8 - 3x. Bolo by nesprávne okamžite považovať 3x a 2x za podobné termíny a kombinovať ich, pretože zátvorky vo výraze naznačujú, že musíme najskôr vykonať ďalšie operácie. Najprv vykonáme aritmetické operácie s výrazom v poradí operácií, aby sme získali výrazy, ktoré môžeme použiť. Pozrite sa na nasledujúce:
- 5 (3x -1) + x ((2x)/(2)) + 8 - 3x
- 15x - 5 + x (x) + 8 - 3x
- 15x - 5 + x2 + 8 - 3x. Keďže jedinou zostávajúcou operáciou je sčítanie a odčítanie, môžeme kombinovať podobné výrazy.
- X2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
- X2 + 12x + 3
Metóda 2 z 3: Faktoring
Krok 1. Identifikujte najväčší spoločný faktor vo výraze
Faktoring je spôsob, ako zjednodušiť výraz odstránením faktorov, ktoré sú vo výraze rovnaké vo všetkých podobných výrazoch. Na začiatok nájdite najväčší spoločný faktor, ktorý všetky výrazy majú - inými slovami, najväčšie číslo, ktoré rozdeľuje všetky výrazy vo výrazovom celku.
-
Použime rovnicu 9x2 + 27x - 3. Všimnite si, že každý výraz v tejto rovnici je deliteľný 3. Pretože výrazy nie sú deliteľné žiadnym väčším číslom, môžeme povedať, že
Krok 3 je náš najväčší spoločný faktor.
Krok 2. Rozdeľte výrazy vo výraze najväčším spoločným faktorom
Ďalej rozdeľte každý výraz vo svojej rovnici najväčším spoločným faktorom, ktorý ste práve našli. Kvocienty budú mať menší koeficient ako pôvodná rovnica.
-
Rozdeľme našu rovnicu na najväčší spoločný faktor 3. Na tento účel rozdelíme každý výraz 3.
- 9x2/3 = 3x2
- 27x/3 = 9x
- -3/3 = -1
- Náš nový výraz teda je 3x2 + 9x - 1.
Krok 3. Napíšte svoj výraz ako súčin najväčšieho spoločného faktora vynásobeného zvyšnými výrazmi
Váš nový výraz nie je ekvivalentný vášmu pôvodnému výrazu, takže by bolo nesprávne tvrdiť, že výraz bol zjednodušený. Aby bol náš nový výraz rovnaký ako pôvodný, musíme do neho zahrnúť skutočnosť, že náš výraz bol rozdelený najväčším spoločným faktorom. Nový výraz uzatvorte do zátvorky a ako spoločný výrazový koeficient do zátvorky napíšte najväčší spoločný faktor pôvodnej rovnice.
Pre náš príklad rovnice 3x2 + 9x - 1, môžeme výraz uzavrieť do zátvoriek a vynásobiť ho najväčším spoločným faktorom pôvodnej rovnice, aby sme získali 3 (3x2 + 9x - 1). Táto rovnica je ekvivalentná pôvodnej rovnici 9x2 +27x - 3.
Krok 4. Na zjednodušenie zlomkov použite faktoring
Teraz sa môžete čudovať, prečo sa používa faktoring, ak aj po odstránení najväčšieho spoločného faktora musí byť nový výraz týmto faktorom znova vynásobený. Faktoring v skutočnosti umožňuje matematikom vykonávať rôzne triky na zjednodušenie výrazov. Jeden z jeho najľahších trikov využíva skutočnosť, že vynásobením čitateľa a menovateľa zlomku rovnakým číslom môžu vzniknúť ekvivalentné zlomky. Pozrite sa na nasledujúce:
-
Povedzte náš počiatočný príklad výrazu 9x2 + 27x - 3, je kvantifikátor väčšej frakcie s 3 ako čitateľ. Zlomok bude vyzerať takto: (9x2 + 27x - 3)/3. Na zjednodušenie zlomkov môžeme použiť faktoring.
- Nahraďme výrazový faktor nášho pôvodného výrazu za výraz v čitateľovi: (3 (3x2 + 9x - 1))/3
- Všimnite si, že čitateľ aj menovateľ majú teraz koeficient 3. Ak delíme čitateľa a menovateľa 3, dostaneme: (3x2 + 9x - 1)/1.
- Pretože akýkoľvek zlomok s menovateľom 1 je ekvivalentný výrazom v čitateľovi, môžeme povedať, že náš počiatočný zlomok je možné zjednodušiť na 3x2 + 9x - 1.
Metóda 3 z 3: Aplikácia ďalších zručností zjednodušenia
Krok 1. Zjednodušte zlomky delením rovnakými faktormi
Ako je uvedené vyššie, ak čitateľ a menovateľ rovnice majú rovnaké faktory, tieto faktory možno vo zlomku úplne vynechať. Niekedy to bude vyžadovať faktorizáciu v čitateľovi, menovateli alebo v oboch (ako je to v prípade príkladu vyššie), ale niekedy sú často zrejmé rovnaké faktory. Všimnite si toho, že je tiež možné rozdeliť termíny čitateľa rovnicou v menovateli jeden po druhom, aby sme získali jednoduchý výraz.
-
Poďme pracovať na príklade, ktorý nevyžaduje faktoring. Pre zlomky (5x2 + 10x + 20)/10, pre zjednodušenie môžeme každý člen v čitateľovi rozdeliť na 10, aj keď je koeficient 5 z 5x2 nie je väčšia ako 10, a preto 10 nie je faktor.
Ak to urobíme, dostaneme ((5x2)/10) + x + 2. Ak by sme chceli, mohli by sme prvý výraz prepísať ako (1/2) x2 tak dostaneme (1/2) x2 +x+2.
Krok 2. Na zjednodušenie koreňov použite štvorcové faktory
Výraz pod znakom root sa nazýva koreňový výraz. Tento výraz je možné zjednodušiť identifikáciou štvorcových faktorov (faktorov, ktoré sú druhou mocninou celých čísel) a vykonaním operácie na odmocnine oddelene ich odstránite spod znamienka druhej odmocniny.
-
Ukážme jednoduchý príklad - (90). Ak uvažujeme o 90 ako súčinu jeho dvoch faktorov, 9 a 10, môžeme vziať druhú odmocninu z 9, čo je celé číslo 3, a odstrániť ho zo znaku radikála. Inými slovami:
- √(90)
- √(9 × 10)
- (√(9) × √(10))
- 3 × √(10)
- 3√(10)
Krok 3. Pri násobení dvoch exponentov pridajte exponenty; pri delení odčítať
Niektoré algebraické výrazy vyžadujú násobenie alebo delenie výrazov. Namiesto ručného výpočtu alebo delenia každého exponentu stačí pri násobení pridať exponenty a pri delení odpočítať, aby ste ušetrili čas. Tento koncept je možné použiť aj na zjednodušenie variabilných výrazov.
-
Použime napríklad výraz 6x3 × 8x4 + (x17/X15). V každom prípade, keď je potrebné znásobenie alebo rozdelenie exponentov, odčítame alebo pridáme exponenty, aby sme rýchlo našli jednoduchý výraz. Pozrite sa na nasledujúce:
- 6x3 × 8x4 + (x17/X15)
- (6 × 8) x3 + 4 + (x17 - 15)
- 48x7 +x2
-
Vysvetlenie, ako to funguje, nájdete nižšie:
- Násobenie výrazov v exponentoch je vlastne ako násobenie výrazov nie v dlhých exponentoch. Napríklad preto, že x3 = x × x × x a x 5 = x × x × x × x × x x, x3 × x5 = (x × x × x) × (x × x × x × x x × x) alebo x8.
- Takmer rovnaké je delenie exponentov ako delenie výrazov, nie dlhých exponentov. X5/X3 = (x × x × x × x × x x)/(x × x × x x). Pretože každý výraz v čitateľovi je možné prečiarknuť nájdením rovnakého výrazu v menovateli, v čitateľovi zostávajú iba dve písmená x a v spodnej časti nič neostáva, pričom odpoveď x2.
Tipy
- Vždy si pamätajte, že tieto čísla si musíte predstaviť tak, že majú pozitívne aj negatívne znaky. Mnoho ľudí prestane premýšľať nad tým, aké znamenie by som tu mal dať?
- Požiadajte o pomoc, ak ju potrebujete!
- Zjednodušenie algebraických výrazov nie je jednoduché, ale keď ho pochopíte, budete ho používať po celý život.
Pozor
- Vždy hľadajte podobné kmene a nenechajte sa zmiasť hodnosťou.
- Uistite sa, že nepridávate čísla, právomoci alebo operácie, ktoré by nemali byť neúmyselne.
