Ako používať Pytagorovu vetu: 12 krokov (s obrázkami)

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Naposledy zmenené: 2024-01-16 19:56

Pytagorova veta elegantným a praktickým spôsobom opisuje dĺžky strán pravouhlého trojuholníka, preto je táto veta dodnes široko používaná. Táto veta uvádza, že pre každý pravouhlý trojuholník je súčet druhých mocnín neohnutých strán rovný štvorcu prepony. Inými slovami, pre pravouhlý trojuholník s kolmými stranami a a b a preponou c, a² + b² = c².

Pytagorova veta je jedným zo základných pilierov elementárnej geometrie. Existuje nespočetné množstvo aplikácií, ktoré napríklad používajú túto vetu na uľahčenie nájdenia vzdialenosti medzi dvoma bodmi v súradnicovej rovine.

Krok

Metóda 1 z 2: Hľadanie strán pravouhlého trojuholníka

Krok 1. Uistite sa, že váš trojuholník je pravý trojuholník

Pytagorova veta sa týka iba pravouhlých trojuholníkov, takže než budete pokračovať, je veľmi dôležité uistiť sa, že vaše trojuholníky zodpovedajú vlastnostiam pravouhlých trojuholníkov. Našťastie existuje jeden faktor, ktorý môže naznačovať, že váš trojuholník je pravouhlý. Váš trojuholník by mal mať jeden 90 stupňový uhol.

Ako znak sú pravé trojuholníky často označené malými štvorčekmi na označenie 90-stupňových uhlov, pričom sa nepoužívajú zakrivené „krivky“. Hľadajte túto konkrétnu značku v rohu trojuholníka

Krok 2. Uveďte premenné a, b, c pre strany svojho trojuholníka

V Pytagorovej vete predstavujú premenné a a b strany, ktoré sa stretávajú v pravom trojuholníku, zatiaľ čo premenná c predstavuje preponu - dlhú stranu oproti pravému uhlu. Na začiatku teda označte kratšie strany trojuholníka premennými a a b (nezáleží na tom, či ich prehodíte) a preponu označte premennou c.

Krok 3. Rozhodnite sa, ktorú stranu trojuholníka chcete vyriešiť

Pytagorova veta umožňuje matematikom nájsť dĺžku ktorejkoľvek strany pravouhlého trojuholníka, pokiaľ poznajú dĺžky ostatných dvoch strán. Určte, ktorá strana je neznáma - a, b a/alebo c. Ak je dĺžka jednej z vašich strán neznáma, ste pripravení pokračovať.

• Napríklad vieme, že dĺžka prepony trojuholníka je 5 a dĺžka jednej z ostatných strán je 3, ale nie sme si istí dĺžkou tretej strany. V tomto prípade vieme, že hľadáme dĺžku tretej strany, a keďže poznáme dĺžky ďalších dvoch, môžeme to vyriešiť! Na tomto probléme budeme pracovať pomocou nasledujúcich krokov.
• Ak nepoznáte dĺžky dvoch strán, musíte vedieť jednu zo strán, aby ste mohli používať Pytagorovu vetu. Základné trigonometrické funkcie vám môžu pomôcť, ak poznáte jednu stranu trojuholníka, ktorá nie je šikmá.

Krok 4. Do rovnice zapojte obojstranné hodnoty, ktoré už poznáte

Zapojte dĺžky strán svojho trojuholníka do rovnice a² + b² = c². Nezabudnite, že a a b nie sú šikmé strany, zatiaľ čo c je prepona.

V našom prípade poznáme dĺžku jednej zo strán a preponu (3 a 5), takže rovnica sa stane 3² + b² = 5²

Krok 5. Štvorec

Ak chcete vyriešiť svoju rovnicu, začnite zarovnaním známych strán. Prípadne, ak to považujete za jednoduchšie, môžete nechať svoje bočné dĺžky na štvorci a neskôr ich vycentrovať.

• V našom príklade začiarkneme 3 a 5 tak, aby sme dostali

  Krok 9. da

  Krok 25.. Rovnicu môžeme zapísať ako 9 + b² = 25.

Krok 6. Presuňte neznámu premennú na druhú stranu rovnice

Ak je to potrebné, pomocou základných algebraických operácií sa neznáma premenná presunie na druhú stranu rovnice a štvorec ostatných dvoch premenných na druhú stranu. Ak chcete nájsť dĺžku prepony, c je už na druhej strane rovnice, takže nemusíte nič robiť, aby ste ju posunuli.

V našom prípade je aktuálna rovnica 9 + b² = 25. Ak chcete posunúť b², odčítajte obe strany rovnice o 9, takže výsledkom je b² = 16

Krok 7. Druhá odmocnina oboch strán rovnice

Teraz je na jednej strane štvorcová iba jedna premenná a na druhej číslo. Druhá odmocnina oboch strán zistí dĺžku neznámej strany.

• V našom prípade b² = 16, pričom odmocnina oboch strán dáva b = 4. Môžeme teda povedať, že dĺžka neznámej strany trojuholníka je

  Krok 4..

Krok 8. Pomocou Pythagorovej vety nájdite strany pravého pravouhlého trojuholníka

Dôvod, prečo je Pytagorova veta v dnešnej dobe široko používaná, je ten, že sa dá použiť na nespočetné množstvo praktických situácií. Naučte sa poznať pravé trojuholníky v reálnom živote - v akejkoľvek situácii, kde dva objekty alebo priame čiary zvierajú pravý uhol a tretí objekt alebo čiara spájajú dva objekty alebo čiary diagonálne, potom môžete pomocou Pytagorovej vety nájsť dĺžku strany. druhá, ak sú známe dĺžky ďalších dvoch strán.

• Skúsme skutočný príklad, ktorý je o niečo ťažší. O budovu sa opiera rebrík. Vzdialenosť od spodnej časti schodiska k stene je 5 metrov. Výška schodiska dosahuje 20 metrov. Ako dlhý je rebrík?

  • 5 metrov od steny a 20 metrov na výšku nám hovorí dĺžky strán trojuholníka. Pretože stena a zem (predpokladané) zvierajú pravý uhol a rebrík je opretý o stenu šikmo, možno toto usporiadanie považovať za pravouhlý trojuholník s dĺžkami strán a = 5 a b = 20. Dĺžka rebríka je prepona, takže hodnota c nie je známa. Použime Pytagorovu vetu:

    • a² + b² = c²
    • (5) ² + (20) ² = c²
    • 25 + 400 = c²
    • 425 = c²
    • koreň (425) = c
    • c = 20,6. Približná dĺžka rebríka je 20,6 metra.

Metóda 2 z 2: Výpočet vzdialenosti medzi dvoma bodmi v rovine X-Y

Krok 1. Nájdite dva body v rovine X-Y

Pytagorovu vetu možno ľahko použiť na výpočet vzdialenosti priamky medzi dvoma bodmi v rovine X-Y. Všetko, čo potrebujete vedieť, sú súradnice x a y týchto dvoch bodov. Obvykle sú tieto súradnice zapísané spoločne vo forme (x, y).

Aby sme zistili vzdialenosť medzi týmito dvoma bodmi, budeme každý bod považovať za jeden z nesprávnych uhlov pravouhlého trojuholníka. Vďaka tomu bude ľahké nájsť dĺžky strán a a b a potom vypočítať preponu c, čo je vzdialenosť medzi dvoma bodmi

Krok 2. Nakreslite svoje dva body do obrázku

V pravidelnej rovine X-Y každý bod (x, y), x predstavuje horizontálnu súradnicu a y predstavuje vertikálnu súradnicu. Vzdialenosť medzi týmito dvoma bodmi môžete nájsť bez toho, aby ste ho nakreslili, ale tým získate vizuálny obraz, pomocou ktorého zistíte, či je vaša odpoveď správna.

Krok 3. Nájdite dĺžku šikmej strany vášho trojuholníka

Pomocou dvoch bodov ako uhlov trojuholníka susediaceho s preponou nájdite dĺžky strán a a b trojuholníka. Môžete to urobiť pomocou obrázka alebo pomocou vzorca | x₁ - X₂| pre vodorovnú stranu a | y₁ - r₂| pre zvislú stranu, s (x₁, r₁) ako prvý bod a (x₂, r₂) ako druhý bod.

• Nech sú naše dva body (6, 1) a (3, 5). Dĺžka horizontálnej strany nášho trojuholníka je:

  • | x₁ - X₂|
  • |3 - 6|

  • | -3 | =

    Krok 3

• Dĺžka zvislej strany je:

  • | y₁ - r₂|
  • |1 - 5|

  • | -4 | =

    Krok 4.

• V našom pravom trojuholníku teda strana a = 3 a strana b = 4.

Krok 4. Pomocou Pythagorovej vety zistíte dĺžku prepony

Vzdialenosť medzi dvoma bodmi je dĺžka prepony trojuholníka, ktorého dve strany ste práve našli. Pomocou Pythagorovej vety nájdite preponu, kde a je dĺžka prvej strany a b je dĺžka druhej strany.

• V našom prípade používame body (3, 5) a (6, 1), ktorých dĺžky strán sú 3 a 4, takže preponu nájdeme nasledovne:

  • (3) ²+(4) ² = c²

    c = koreň (9+16)

    c = koreň (25)

    c = 5. Vzdialenosť medzi (3, 5) a (6, 1) je

    Krok 5..

Tipy

• Prepona je vždy:

  • oproti pravému uhlu (bez dotyku pravého uhla)
  • najdlhšia strana v pravom trojuholníku
  • v Pythagorovej vete nazývané c
• root (x) znamená druhú odmocninu z x.
• Nezabudnite si vždy skontrolovať svoje odpovede. Ak sa vám zdá odpoveď nesprávna, skúste to znova a skúste to znova.
• Ak trojuholník nie je pravouhlý, potrebujete ďalšie informácie, nielen dĺžky ďalších dvoch strán.
• Ďalší spôsob kontroly - najdlhšia strana je oproti najväčšiemu uhlu a najkratšia strana je oproti najmenšiemu uhlu.
• Obrázky sú kľúčom k zapísaniu správnych hodnôt pre a, b a c. Ak pracujete na probléme príbehu, najskôr si problém zapíšte do obrázka.
• Ak poznáte iba dĺžku jednej strany, Pytagorova veta nefunguje. Skúste použiť trigonometriu (sin, cos, tan) alebo pomery 30-60-90 / 45-45-90.