3 spôsoby, ako rozdeliť trojčlen

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Naposledy zmenené: 2024-01-15 08:23

Trinomiál je algebraický výraz pozostávajúci z troch výrazov. S najväčšou pravdepodobnosťou sa začnete učiť, ako faktorizovať kvadratický trojčlen, to znamená trojčlen zapísaný vo forme osi.² + bx + c. Existuje niekoľko trikov, ktoré sa môžete naučiť a ktoré je možné použiť pre mnoho rôznych typov kvadratických trojčlenov, ale s cvičením ich budete vedieť použiť lepšie a rýchlejšie. Polynomy vyššieho rádu s výrazmi ako x³ alebo x⁴, nemožno vždy vyriešiť rovnakým spôsobom, ale často môžete použiť jednoduchý faktoring alebo substitúciu, aby ste z neho urobili problém, ktorý je možné vyriešiť ako každý iný kvadratický vzorec.

Krok

Metóda 1 z 3: Faktor x² + bx + c

Krok 1. Naučte sa násobenie PLDT

Možno ste sa naučili znásobovať PLDT alebo „prvý, vonku, dovnútra, posledný“, aby ste znásobili výrazy ako (x+2) (x+4). Je užitočné vedieť, ako toto násobenie funguje, než sa zamyslíme:

Rozmnožte kmene najprv: (X+2)(X+4) = X² + _
Rozmnožte kmene Vonku: (X+2) (x+

Krok 4.) = x²+ 4x + _
Rozmnožte kmene V: (x+

Krok 2.)(X+4) = x²+4x+ 2x + _
Rozmnožte kmene Finálny: (x+

Krok 2.)(X

Krok 4.) = x²+4x+2x

Krok 8.
Zjednodušiť: x²+4x+2x+8 = x²+6x+8

Krok 2. Pochopte faktoring

Keď vynásobíte dva binomické údaje pomocou metódy PLDT, získate trojčlen (výraz s tromi výrazmi) v tvare a x²+ b x+ c, kde a, b, a c sú obyčajné čísla. Ak začnete s rovnicou, ktorá má rovnaký tvar, môžete ju rozdeliť späť na dve binomické čísla.

Ak rovnice nie sú zapísané v tomto poradí, usporiadajte rovnice tak, aby mali toto poradie. Napríklad prepísať 3x - 10 + x² Stáva sa X² + 3x - 10.
Pretože najvyšší výkon je 2 (x², tento typ výrazu sa nazýva kvadratický.

Krok 3. Na odpoveď ponechajte prázdne miesto vo forme násobenia PLDT

Zatiaľ len píšte (_ _)(_ _) kde napíšeš odpoveď. Pri práci na ňom naplníme

Nepíšte + alebo - medzi prázdne výrazy, pretože ešte nepoznáme správne znamienko

Krok 4. Vyplňte prvé termíny

Pri jednoduchých problémoch je prvý člen vašej trojčlenky len x², podmienky na prvej pozícii sú vždy X a X. Toto sú faktory pojmu x² pretože x krát x = x².

Náš príklad x² + 3x - 10 začínajúc x², takže môžeme napísať:
(x _) (x _)
V ďalšej časti sa budeme venovať komplexnejším problémom vrátane trojčlenov začínajúcich sa výrazmi ako 6x² alebo -x². Medzitým sa riaďte týmito ukážkovými otázkami.

Krok 5. Na uhádnutie posledných výrazov použite faktoring

Ak sa vrátite a prečítate si kroky na vynásobenie PLDT, uvidíte, že vynásobením posledných výrazov sa vytvorí posledný výraz v polynómu (výrazy, ktoré nemajú x). Aby sme faktorizovali, musíme nájsť dve čísla, ktoré po vynásobení vytvoria posledný výraz.

V našom prípade x² + 3x - 10, posledný termín je -10.
Aké sú faktory -10? Aké číslo sa vynásobí -10?
Existuje niekoľko možností: -1 krát 10, 1 krát -10, -2 krát 5 alebo 2 krát -5. Tieto páry si niekde zapíšte, aby ste si ich zapamätali.
Zatiaľ nemeňte našu odpoveď. Naša odpoveď by mala stále vyzerať takto: (x _) (x _).

Krok 6. Otestujte možnosti, ktoré zodpovedajú vonkajšiemu a vnútornému produktu

Posledné podmienky sme zúžili na niekoľko možností. Pomocou testovacieho systému otestujte všetky možnosti, vynásobte vonkajšie a vnútorné výrazy a porovnajte produkt s naším trojčlenom. Napríklad:

Náš pôvodný problém mal výraz „x“3x, takže naše výsledky testov by sa mali zhodovať s týmto pojmom.
Testy -1 a 10: (x -1) (x+10). Vonku + vnútri = 10x - x = 9x. Zle.
Testy 1 a -10: (x+1) (x -10). -10x + x = -9x. Toto je nesprávne. V skutočnosti, ak testujete -1 a 10, zistíte, že 1 a -10 sú opakom vyššie uvedenej odpovede: -9x namiesto 9x.
Testy -2 a 5: (x -2) (x+5). 5x - 2x = 3x. Výsledok zodpovedá počiatočnému polynómu, takže správna odpoveď je tu: (x-2) (x+5).
V jednoduchých prípadoch, ako je tento, ak nemáte konštantu pred výrazom x²"Môžete použiť rýchly spôsob: stačí sčítať dva faktory a vložiť za to" x "(-2+5 → 3x). Táto metóda však nefunguje pri zložitejších problémoch, preto je lepšie pamätať si na „dlhú cestu“popísanú vyššie.

Metóda 2 z 3: Faktoring komplexnejších trojčlenov

Krok 1. Na zjednodušenie zložitejších problémov použite jednoduché faktoring

Napríklad musíte faktorovať 3x² + 9x - 30. Nájdite číslo, ktoré môže súčiniť všetky tri pojmy („najväčší spoločný faktor“alebo GCF). V tomto prípade je GCF 3:

3x² = (3) (x²)
9x = (3) (3x)
-30 = (3)(-10)
Teda 3x² + 9x - 30 = (3) (x²+3x-10). Nový trinomiál môžeme vylúčiť pomocou krokov v sekcii vyššie. Naša konečná odpoveď bude (3) (x-2) (x+5).

Krok 2. Pozrite sa na ďalšie komplikujúce faktory

Faktoring môže niekedy zahŕňať premennú, alebo budete musieť faktorovať niekoľkokrát, aby ste našli najjednoduchší možný výraz. Tu je niekoľko príkladov:

2x²y + 14x + 24r = (2 roky)(X² + 7x + 12)
X⁴ + 11x³ - 26x² = (X²)(X² +11x - 26)
-X² + 6x - 9 = (-1)(X² - 6x + 9)
Nezabudnite refaktorovať novú trojčlenku podľa krokov v metóde 1. Skontrolujte svoju prácu a hľadajte príklady podobných problémov vo vzorových otázkach v spodnej časti tejto stránky.

Krok 3. Vyriešte problémy s číslom pred x².

Niektoré kvadratické trojčleny nemožno redukovať na najľahší typ problému. Naučte sa riešiť problémy ako 3x² + 10x + 8, potom si zacvičte sami pomocou vzorových otázok v spodnej časti tejto stránky:

Nastavte našu odpoveď na: (_ _)(_ _)
Každý z našich „prvých“výrazov bude mať jedno x a ich vynásobením 3x². Existuje iba jedna možnosť: (3x _) (x _).
Vymenujte faktory 8. Šance sú 1 krát 8 alebo 2 krát 4.
Otestujte túto možnosť pomocou vonkajších a vnútorných výrazov. Poradie faktorov je veľmi dôležité, pretože vonkajší výraz sa vynásobí 3x namiesto x. Vyskúšajte všetky možnosti, kým sa nedostanete von+In = 10x (z pôvodného problému):
(3x+1) (x+8) → 24x+x = 25x č
(3x+8) (x+1) → 3x+8x = 11x č
(3x+2) (x+4) → 12x+2x = 14x č
(3x+4) (x+2) → 6x+4x = 10x Áno. Toto je správny faktor.

Krok 4. Použite substitúciu pre trojčleny vyššieho rádu

Vaša matematická kniha vás môže prekvapiť rovnicami s veľkými mocnosťami, ako napríklad x⁴, aj keď na uľahčenie problému použijete jednoduché faktoring. Skúste nahradiť novú premennú, ktorá z nej urobí problém, ktorý viete vyriešiť. Napríklad:

X⁵+13x³+36x
= (x) (x⁴+13x²+36)
Vytvorme novú premennú. Povedzme, že y = x² a daj do toho:
(x) (r²+13r+36)
= (x) (y+9) (y+4). Teraz ho preveďte späť na počiatočnú premennú:
= (x) (x²+9) (x²+4)
= (x) (x ± 3) (x ± 2)

Metóda 3 z 3: Faktoring špeciálnych prípadov

Krok 1. Nájdite prvočísla

Pozrite sa, či je konštanta v prvom alebo treťom člene trojčlenu prvočíslom. Prvočíslo je deliteľné iba samo sebou a 1, takže existuje iba jeden možný pár binomických faktorov.

Napríklad v x² + 6x + 5, 5 je prvočíslo, takže binomické číslo musí mať tvar (_ 5) (_ 1).
V probléme 3x²+10x+8, 3 je prvočíslo, takže binomické číslo musí mať tvar (3x _) (x _).
Na otázky 3x²+4x+1, 3 aj 1 sú prvočísla, takže jediným možným riešením je (3x+1) (x+1). (Na kontrolu odpovede by ste mali toto číslo vynásobiť, pretože niektoré výrazy nie je možné vôbec započítať - napríklad 3x²+100x+1 nemá žiadny faktor.)

Krok 2. Zistite, či je trinomiál perfektný štvorec

Perfektný štvorcový trinomiál možno rozdeliť do dvoch identických binomík a faktor sa zvyčajne zapíše ako (x+1)² a nie (x+1) (x+1). Tu je niekoľko príkladov, ktoré sa zvyčajne vyskytujú v otázkach:

X²+2x+1 = (x+1)²a x²-2x+1 = (x-1)²
X²+4x+4 = (x+2)²a x²-4x+4 = (x-2)²
X²+6x+9 = (x+3)²a x²-6x+9 = (x-3)²
Perfektný štvorcový trojčlen v tvare a x² + bx + c má vždy výrazy aac, ktoré sú kladnými dokonalými štvorcami (napríklad 1, 4, 9, 16 alebo 25) a jedným výrazom b (kladným alebo záporným), ktorý sa rovná 2 (√a * √c).

Krok 3. Zistite, či problém nemá riešenie

Nie všetky trojčleny je možné zohľadniť. Ak nemôžete faktorizovať kvadratický trinomiál (ax²+bx+c), na nájdenie odpovede použite kvadratický vzorec. Ak je jedinou odpoveďou druhá odmocnina záporného čísla, neexistuje riešenie skutočného čísla, potom problém nemá žiadne faktory.

V prípade nelineárnych trojčlenov použite Eisensteinovo kritérium, ktoré je popísané v časti Tipy

Odpovede a ukážkové otázky

Odpovede na otázky „komplikovaného faktoringu“.

Toto sú otázky z kroku „komplikovanejšie faktory“. Problémy sme zjednodušili na jednoduchšie, preto sa ich pokúste vyriešiť pomocou krokov v metóde 1 a potom skontrolujte svoju prácu tu:
- (2 roky) (x² + 7x + 12) = (x+3) (x+4)
- (X²)(X² + 11x - 26) = (x+13) (x-2)
- (-1) (x² -6x + 9) = (x-3) (x-3) = (x-3)²
Skúste komplexnejšie problémy s faktorovaním.

Tieto problémy majú v každom termíne rovnaký faktor, ktorý je potrebné najskôr zohľadniť. Odpovede zablokujete tak, že za znamienkom rovnosti zablokujete medzery, takže si môžete skontrolovať svoju prácu:
- 3x³+3x²-6x = (3x) (x+2) (x-1) zablokovaním prázdneho miesta zobrazíte odpoveď
- -5x³r²+30x²r²-25 rokov²x = (-5xy^2) (x-5) (x-1)
Precvičte si používanie otázok. Tieto problémy nie je možné zahrnúť do jednoduchších rovníc, takže budete musieť nájsť odpoveď vo formáte (_x + _) (_ x + _) pomocou pokusu a omylu:
- 2x²+3x-5 = (2x+5) (x-1) blok, aby ste videli odpoveď
- 9x²+6x+1 = (3x+1) (3x+1) = (3x+1)² (Tip: Možno budete chcieť vyskúšať viac ako jeden pár faktorov pre 9x.)
Tipy
- Ak nemôžete prísť na to, ako faktorizovať kvadratický trojčlen (ax²+bx+c), na nájdenie x môžete použiť kvadratický vzorec.
- Aj keď nepotrebujete vedieť, ako to urobiť, môžete pomocou Eisensteinových kritérií rýchlo určiť, či polynóm nemožno zjednodušiť a zohľadniť. Toto kritérium platí pre akýkoľvek polynóm, ale najlepšie sa používa pre trojčleny. Ak existuje prvočíslo p, ktoré rovnomerne delí posledné dva výrazy a spĺňa nasledujúce podmienky, potom polynóm nemožno zjednodušiť:
  - Konštantné výrazy (bez premenných) sú násobky p, ale nie násobky p².
  - Predpona (napríklad a v osi²+bx+c) nie je násobkom p.
  - Napríklad 14x² +45x +51 nemožno zjednodušiť, pretože existuje prvočíslo (3), ktoré je možné rozdeliť na 45 aj 51, ale nie na 14 a 51 nie je deliteľné 3.².
Pozor

Aj keď to platí pre kvadratické trojčleny, trojčlen, ktorý je možné započítať, nemusí byť nutne výsledkom dvoch dvojčlenov. Napríklad x⁴ + 105x + 46 = (x² + 5x + 2) (x² - 5x + 23).