Každá funkcia má dve premenné, a to nezávislú premennú a závislú premennú. Doslova hodnota závislej premennej „závisí“od nezávislej premennej. Napríklad vo funkcii y = f (x) = 2 x + y je x nezávislá premenná a y je závislá premenná (inými slovami, y je funkcia x). Platné hodnoty pre známu premennú x sa nazývajú „domény pôvodu“. Platné hodnoty pre známu premennú y sa nazývajú „rozsah výsledkov“.
Krok
Časť 1 z 3: Nájdenie domény funkcie
Krok 1. Rozhodnite sa, aký typ funkcie budete vykonávať
Doménou funkcie sú všetky hodnoty x (horizontálna os), ktoré vrátia platné hodnoty y. Rovnica funkcie môže byť kvadratická, zlomková alebo môže obsahovať koreň. Prvá vec, ktorú musíte urobiť, aby ste vypočítali doménu funkcie, je preskúmať premenné v rovnici.
- Kvadratická funkcia má tvar sekera2 + bx + c: f (x) = 2x2 + 3x + 4
- Medzi príklady funkcií so zlomkami patria: f (x) = (1/X), f (x) = (x+1)/(x - 1), a ďalšie.
- Medzi funkcie, ktoré majú korene, patria: f (x) = x, f (x) = (x2 + 1), f (x) = -x atď.
Krok 2. Napíšte doménu so správnym zápisom
Zápis domény funkcie zahŕňa použitie hranatých zátvoriek [,] a zátvoriek (,). Ak číslo patrí do domény, použite hranaté zátvorky [,] a ak doména číslo neobsahuje, použite zátvorky (,). Písmeno U označuje zväzok, ktorý spája časti domény, ktoré môžu byť oddelené vzdialenosťou.
- Napríklad doména [-2, 10) U (10, 2] obsahuje -2 a 2, ale nezahŕňa číslo 10.
- Ak používate symbol nekonečna, vždy používajte zátvorky ().
Krok 3. Nakreslite graf kvadratickej rovnice
Kvadratické rovnice vytvárajú parabolický graf, ktorý sa otvára nahor alebo nadol. Vzhľadom na to, že parabola bude pokračovať nekonečne na osi x, doménou väčšiny kvadratických rovníc sú všetky skutočné čísla. Inak povedané, kvadratická rovnica obsahuje všetky hodnoty x v číselnom riadku, pričom udáva doménu R. (symbol pre všetky reálne čísla).
- Na vyriešenie funkcie zvoľte ľubovoľnú hodnotu x a zadajte ju do funkcie. Vyriešením funkcie s hodnotou x sa vráti hodnota y. Hodnoty xay sú súradnice (x, y) grafu funkcie.
- Nakreslite tieto súradnice do grafu a postup zopakujte s ďalšou hodnotou x.
- Vynesenie niektorých hodnôt v tomto modeli vám poskytne prehľad o tvare kvadratickej funkcie.
Krok 4. Ak je rovnica funkcie zlomkom, urobte menovateľ rovným nule
Pri práci so zlomkami nemôžete nikdy deliť nulou. Keď sa menovateľ rovná nule a nájdete hodnotu x, môžete vypočítať hodnoty, ktoré chcete z funkcie extrahovať.
- Napríklad: Určte doménu funkcie f (x) = (x+1)/(x - 1).
- Menovateľ funkcie je (x - 1).
- Nastavte menovateľ na nulu a vypočítajte hodnotu x: x - 1 = 0, x = 1.
- Napíšte doménu: Doména funkcie nezahŕňa 1, ale obsahuje všetky reálne čísla okrem 1; doména je teda (-∞, 1) U (1,).
- (-∞, 1) U (1,) je možné čítať ako zbierku všetkých reálnych čísel okrem 1. Symbol nekonečna, predstavuje všetky reálne čísla. V tomto prípade sú v doméne zahrnuté všetky skutočné čísla väčšie ako 1 a menšie ako 1.
Krok 5. Ak je rovnica koreňovou funkciou, nastavte koreňové premenné na nulu alebo viac
Nemôžete použiť druhú odmocninu záporného čísla; preto každá hodnota x, ktorá vedie k zápornému číslu, musí byť odstránená z domény funkcie.
- Napríklad: Nájdite doménu funkcie f (x) = (x + 3).
- Premenné v koreňovom adresári sú (x + 3).
- Nech je hodnota väčšia alebo rovná nule: (x + 3) 0.
- Vypočítajte hodnotu pre x: x -3. Riešiť pre x: x -3.
- Doména funkcie obsahuje všetky reálne čísla väčšie alebo rovné -3; doména je preto [-3,).
Časť 2 z 3: Zistenie rozsahu kvadratickej rovnice
Krok 1. Uistite sa, že máte kvadratickú funkciu
Kvadratická funkcia má tvar sekera2 + bx + c: f (x) = 2x2 + 3x + 4. Graf kvadratickej funkcie je parabola, ktorá sa otvára nahor alebo nadol. V závislosti od typu funkcie, na ktorej pracujete, existujú rôzne spôsoby výpočtu rozsahu funkcie.
Najľahším spôsobom, ako určiť rozsah ďalších funkcií, ako je koreňová funkcia alebo zlomková funkcia, je vykresliť funkciu pomocou grafickej kalkulačky
Krok 2. Nájdite hodnotu x vrcholu funkcie
Vrchol kvadratickej funkcie je vrchol paraboly. Pamätajte si, že forma kvadratickej funkcie je ax2 + bx + c. Na nájdenie súradnice x použite rovnicu x = -b/2a. Rovnica je derivátom základnej kvadratickej funkcie, ktorá predstavuje rovnicu s nulovým sklonom/sklonom (vo vrchole grafu je gradient funkcie nulový).
- Nájdite napríklad rozsah 3x2 + 6x -2.
- Vypočítajte súradnicu x vrcholu: x = -b/2a = -6/(2*3) = -1
Krok 3. Vypočítajte hodnotu y vrcholu funkcie
Pripojením súradnice x do funkcie vypočítate zodpovedajúcu hodnotu y vrcholu. Táto hodnota y udáva hranicu rozsahu funkcie.
- Vypočítajte súradnicu y: y = 3x2 + 6x-2 = 3 (-1)2 + 6(-1) -2 = -5.
- Vrchol tejto funkcie je (-1, -5).
Krok 4. Určte smer paraboly zapojením aspoň jednej ďalšej hodnoty x
Vyberte inú hodnotu x a zapojením do funkcie vypočítajte príslušnú hodnotu y. Ak je hodnota y nad vrcholom, parabola pokračuje v +∞. Ak je hodnota y pod vrcholom, parabola bude pokračovať na –∞.
- Použite hodnotu x -2: y = 3x2 + 6x-2 = y = 3 (-2)2 + 6(-2) – 2 = 12 -12 -2 = -2.
- Tento výpočet vráti súradnice (-2, -2).
- Tieto súradnice vám ukazujú, že parabola pokračuje nad vrcholom (-1, -5); preto rozsah zahŕňa všetky hodnoty y vyššie ako -5.
- Rozsah tejto funkcie je [-5,).
Krok 5. Napíšte rozsah správnym zápisom
Rovnako ako domény, aj rozsahy sú zapísané rovnakým zápisom. Ak je číslo v rozsahu, použite hranaté zátvorky [,] a ak rozsah číslo neobsahuje, použite zátvorky (,). Písmeno U označuje zväzok, ktorý spája časti rozsahu, ktoré môžu byť oddelené vzdialenosťou.
- Napríklad rozsah [-2, 10) U (10, 2] zahŕňa -2 a 2, ale nezahŕňa číslo 10.
- Ak používate symbol nekonečna, vždy používajte zátvorky.
Časť 3 z 3: Zistenie rozsahu z grafu funkcie
Krok 1. Nakreslite funkciu
Rozsah funkcie je najľahšie určiť pomocou grafu. Mnoho koreňových funkcií má rozsah (-∞, 0] alebo [0, +∞), pretože vrchol horizontálnej paraboly (bočná parabola) je na horizontálnej osi x. V tomto prípade funkcia obsahuje všetky kladné hodnoty y, ak sa parabola otvára, alebo všetky záporné hodnoty y, ak sa parabola otvára smerom nadol. Frakčné funkcie budú mať asymptoty (čiary, ktoré nie sú nikdy prerušené priamkou / krivkou, ale sú priblížené k nekonečnu), ktoré definujú rozsah funkcie.
- Niektoré koreňové funkcie sa začnú nad alebo pod osou x. V tomto prípade je rozsah určený číslom, kde začína koreňová funkcia. Ak parabola začína na y = -4 a stúpa, potom je rozsah [-4, +∞).
- Najjednoduchší spôsob nakreslenia funkcie je použiť grafický program alebo grafickú kalkulačku.
- Ak nemáte grafickú kalkulačku, môžete nakresliť hrubý náčrt grafu zapojením hodnoty x do funkcie a získaním príslušnej hodnoty y. Vykreslite tieto súradnice do grafu, aby ste získali predstavu o tom, ako graf vyzerá.
Krok 2. Nájdite minimálnu hodnotu funkcie
Ihneď po vykreslení funkcie by ste mali byť schopní jasne vidieť najnižší bod grafu. Ak neexistuje žiadna jasná minimálna hodnota, vedzte, že niektoré funkcie budú pokračovať na –∞ (nekonečno).
Funkcia zlomku bude zahŕňať všetky body okrem bodov na asymptotách. Funkcia má rozsah ako (-∞, 6) U (6,)
Krok 3. Určte maximálnu hodnotu funkcie
Po nakreslení grafu by ste opäť mali byť schopní identifikovať maximálny bod funkcie. Niektoré funkcie budú pokračovať pri +∞, a preto nebudú mať minimálnu hodnotu.
Krok 4. Napíšte rozsah správnym zápisom
Rovnako ako domény, aj rozsahy sú zapísané rovnakým zápisom. Ak je číslo v rozsahu, použite hranaté zátvorky [,] a ak rozsah neobsahuje číslo, použite zátvorky (,). Písmeno U označuje zväzok, ktorý spája časti rozsahu, ktoré môžu byť oddelené vzdialenosťou.
- Napríklad rozsah [-2, 10) U (10, 2] zahŕňa -2 a 2, ale nezahŕňa číslo 10.
- Ak používate symbol nekonečna, vždy používajte zátvorky.
