Doplnenie štvorcov je užitočná technika, ktorá vám pomôže dať kvadratické rovnice do úhľadnej podoby, vďaka ktorej ich ľahko uvidíte alebo dokonca vyriešite. Môžete dopĺňať štvorce a vytvárať zložitejšie kvadratické vzorce alebo dokonca riešiť kvadratické rovnice. Ak chcete vedieť, ako na to, postupujte podľa týchto krokov.
Krok
Časť 1 z 2: Konverzia bežných rovníc na kvadratické funkcie
Krok 1. Napíšte rovnicu
Predpokladajme, že chcete vyriešiť nasledujúcu rovnicu: 3x2 - 4x + 5.
Krok 2. Vyberte koeficienty kvadratických premenných z prvých dvoch častí
Ak chcete získať číslo 3 z prvých dvoch častí, jednoducho vyberte číslo 3 a vložte ho mimo zátvoriek tak, že každú časť vydelíte 3x.2 delené 3 je x2 a 4x delené 3 je 4/3x. Nová rovnica sa teda stane: 3 (x2 - 4/3x) + 5. Číslo 5 zostáva mimo rovnice, pretože nie je delené číslom 3.
Krok 3. Rozdeľte druhú časť o 2 a zarámujte ju
Druhá časť alebo to, čo je v rovnici známe ako b, je 4/3. Rozdeliť dvoma. 4/3 2, alebo 4/3 x 1/2, sa rovná 2/3. Teraz zarámujte túto sekciu tak, že vynásobíte čitateľa a menovateľa zlomku. (2/3)2 = 4/9. Napíš to.
Krok 4. Tieto časti sčítajte a odčítajte z rovnice
Tento extra diel budete potrebovať, aby ste dostali rovnicu späť na perfektný štvorec. Musíte ich však odpočítať od zvyšku rovnice, aby ste ich sčítali. Aj keď to vyzerá, že sa vraciate k pôvodnej rovnici. Vaša rovnica vyzerá takto: 3 (x2 - 4/3 x + 4/9 - 4/9) + 5.
Krok 5. Odstráňte časť, ktorú ste odobrali, zo zátvoriek
Keďže máte koeficient 3 mimo zátvorky, nemôžete len vyprodukovať -4/9. Najprv ho musíte vynásobiť 3. -4/9 x 3 = -12/9 alebo -4/3. Ak máte koeficient 1 v sekcii x2, potom môžete tento krok preskočiť.
Krok 6. Zmeňte časť v zátvorkách na perfektný štvorec
Teraz existujú 3 (x2 -4/3x +4/9) v zátvorkách. Už ste sa pokúsili získať 4/9, čo je vlastne ďalší spôsob, ako dokončiť námestie. Môžete ho teda prepísať ako: 3 (x - 2/3)2. Stačí rozdeliť druhú polovicu a tretiu vylúčiť. Svoju prácu môžete skontrolovať vynásobením a vytvorením prvých troch častí rovnice.
-
3 (x - 2/3)2 =
Dokončite Square Step 6 Bullet1 - 3 (x - 2/3) (x -2/3) =
- 3 [(x2 -2/3x -2/3x + 4/9)]
- 3 (x2 - 4/3x + 4/9)
Krok 7. Skombinujte konštanty
Teraz existujú dve konštanty alebo čísla, ktoré nemajú žiadne premenné. Teraz máte 3 (x - 2/3)2 - 4/3 + 5. Jediné, čo musíte urobiť, je sčítať -4/3 a 5, aby ste získali 11/3. Pridáte ich rovnaním menovateľov: -4/3 a 15/3 a potom sčítate čísla tak, aby ste dostali 11 a ponechali menovateľa 3.
-
-4/3 + 15/3 = 11/3.
Dokončite Square Step 7 Bullet1
Krok 8. Napíšte rovnicu v kvadratickej forme
Spravil si. Konečná rovnica je 3 (x - 2/3)2 +11/3. Koeficient 3 môžete odstrániť tak, že obe strany rovnice vydelíte (x - 2/3)2 +11/9. Rovnicu ste úspešne zapísali do kvadratickej podoby, konkrétne a (x - h)2 +k, kde k predstavuje konštantu.
Časť 2 z 2: Riešenie kvadratických rovníc
Krok 1. Napíšte otázky
Predpokladajme, že chcete vyriešiť nasledujúcu rovnicu: 3x2 + 4x + 5 = 6
Krok 2. Skombinujte existujúce konštanty a umiestnite ich na ľavú stranu rovnice
Konštanta je akékoľvek číslo, ktoré nemá premennú. V tomto probléme je konštanta 5 vľavo a 6 vpravo. Ak sa chcete posunúť o 6 vľavo, musíte obidve strany rovnice odčítať o 6. Zvyšok je 0 na pravej strane (6-6) a -1 na ľavej strane (5-6). Rovnica sa stáva: 3x2 + 4x - 1 = 0.
Krok 3. Vytvorte koeficient kvadratickej premennej
V tomto probléme je 3 koeficient x2. Ak chcete získať číslo 3, jednoducho vyberte číslo 3 a rozdeľte každú časť na 3. Takže, 3x2 3 = x2, 4x 3 = 4/3x a 1 3 = 1/3. Rovnica sa stáva: 3 (x2 + 4/3x - 1/3) = 0.
Krok 4. Rozdelte na konštantu, ktorú ste práve extrahovali
To znamená, že môžete odstrániť koeficient 3. Keďže ste už rozdelili každú časť 3, môžete odstrániť číslo 3 bez ovplyvnenia rovnice. Vaša rovnica sa stane x2 + 4/3x - 1/3 = 0
Krok 5. Rozdeľte druhú časť o 2 a zarámujte ju
Potom vezmite druhú časť, 4/3 alebo časť b, a rozdeľte ju o 2 4/3 2 alebo 4/3 x 1/2, rovná sa 4/6 alebo 2/3. A 2/3 na druhú až 4/9. Akonáhle ho zarovnáte na druhú, budete ho musieť napísať na ľavú a pravú stranu rovnice, pretože pridávate novú časť. Aby ste to vyvážili, musíte to napísať na obe strany. Rovnica sa stáva x2 + 4/3 x + 2/32 - 1/3 = 2/32
Krok 6. Posuňte počiatočnú konštantu na pravú stranu rovnice a pripočítajte ju k štvorcu vášho čísla
Posuňte počiatočnú konštantu -1/3 doprava, aby bola 1/3. Pridajte štvorec vášho čísla, 4/9 alebo 2/32. Nájdite spoločného menovateľa, ktorý pridá 1/3 a 4/9 vynásobením horných a dolných zlomkov 1/3 číslom 3. 1/3 x 3/3 = 3/9. Teraz pridajte 3/9 a 4/9, aby ste získali 7/9 na pravej strane rovnice. Rovnica sa stáva: x2 + 4/3 x + 2/32 = 4/9 + 1/3 potom x2 + 4/3 x + 2/32 = 7/9.
Krok 7. Napíšte ľavú stranu rovnice ako perfektný štvorec
Pretože ste už použili vzorec na nájdenie chýbajúceho kusu, ťažká časť bola preskočená. Jediné, čo musíte urobiť, je vložiť x a polovicu hodnoty druhého koeficientu do zátvorky a vycentrovať ho napríklad: (x + 2/3)2. Všimnite si toho, že súčinenie dokonalého štvorca poskytne tri časti: x2 + 4/3 x + 4/9. Rovnica sa stáva: (x + 2/3)2 = 7/9.
Krok 8. Druhá odmocnina z oboch strán
Na ľavej strane rovnice je druhá odmocnina z (x + 2/3)2 je x + 2/3. Na pravej strane rovnice dostanete +/- (√7)/3. Druhá odmocnina menovateľa 9 je 3 a druhá odmocnina 7 je 7. Nezabudnite napísať +/-, pretože druhá odmocnina môže byť kladná alebo záporná.
Krok 9. Presuňte premenné
Ak chcete premennú x posunúť, presuňte konštantu 2/3 na pravú stranu rovnice. Teraz máte dve možné odpovede pre x: +/- (√7)/3 - 2/3. Toto sú vaše dve odpovede. Môžete nechať to tak, alebo nájsť hodnotu druhej odmocniny 7, ak musíte napísať odpoveď bez druhej odmocniny.
Tipy
- Nezabudnite napísať +/- na príslušné miesto, inak dostanete iba jednu odpoveď.
- Aj keď poznáte kvadratický vzorec, precvičujte si pravidelné dopĺňanie štvorca buď dokazovaním kvadratického vzorca alebo riešením niektorých problémov. Vďaka tomu na metódu nezabudnete, keď ju budete potrebovať.
