Ako nakresliť štvorcový graf: 10 krokov (s obrázkami)

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Naposledy zmenené: 2024-02-01 14:15

Ak je grafická reprezentácia grafická, kvadratická rovnica má tvar sekera² + bx + c alebo a (x - h)² + k tvoria písmeno U alebo obrátenú krivku U nazývanú parabola. Pri vytváraní grafov v kvadratickej rovnici sa hľadá vrchol, smer a často priesečník x a y. V prípade pomerne jednoduchých kvadratických rovníc môže stačiť zadanie sady hodnôt x a vykreslenie krivky na základe výsledných bodov. Začnite podľa kroku 1 nižšie.

Krok

Krok 1. Určte tvar kvadratickej rovnice, ktorú máte

Kvadratické rovnice môžu byť zapísané v troch rôznych formách: všeobecná forma, vrcholová forma a kvadratická forma. Na grafovanie kvadratickej rovnice môžete použiť ľubovoľný formulár; proces zobrazovania každého grafu je mierne odlišný. Ak si robíte domáce úlohy, zvyčajne budete dostávať otázky v jednej z týchto dvoch foriem - inými slovami, nebudete si môcť vybrať, preto je najlepšie porozumieť obom. Dve formy kvadratickej rovnice sú:

• Všeobecná forma.

  V tejto forme je kvadratická rovnica zapísaná ako: f (x) = ax² + bx + c kde a, b, a c sú reálne čísla a a nie je nula.

  Napríklad dve kvadratické rovnice všeobecného tvaru sú f (x) = x² + 2x + 1 af (x) = 9x² + 10x -8.

• Špičkový tvar.

  V tejto forme je kvadratická rovnica zapísaná ako: f (x) = a (x - h)² + k, kde a, h a k sú skutočné čísla a a nie je nula. Hovorí sa mu vrchol, pretože h a k okamžite poskytne vrchol (stred) vašej paraboly v bode (h, k).

  Dve rovnice tvaru vrcholu sú f (x) = 9 (x - 4)² + 18 a -3 (x - 5)² + 1

• Aby sme mohli vykresliť akýkoľvek typ rovnice, musíme najskôr nájsť vrchol paraboly, ktorý je stredom (h, k) na konci krivky. Súradnice píkov vo všeobecnej forme sa vypočítajú ako: h = -b/2a a k = f (h), zatiaľ čo vo forme píkov sú h a k v rovnici.

Krok 2. Definujte svoje premenné

Na vyriešenie kvadratického problému je spravidla potrebné definovať premenné a, b, ac (alebo a, h, k). Bežný problém s algebrou poskytne kvadratickú rovnicu s dostupnými premennými, zvyčajne vo všeobecnej forme, ale niekedy v špičkovej forme.

• Napríklad pre rovnicu všeobecného tvaru f (x) = 2x² + 16x + 39, máme a = 2, b = 16 a c = 39.
• Pre rovnicu píkového tvaru f (x) = 4 (x - 5)² + 12, máme a = 4, h = 5 a k = 12.

Krok 3. Vypočítajte h

V rovnici vrcholového tvaru je už uvedená vaša hodnota h, ale vo všeobecnej rovnici tvaru musí byť hodnota h vypočítaná. Nezabudnite, že pre rovnice všeobecného tvaru h = -b/2a.

• V našom všeobecnom príklade (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b/2a = -16/2 (2). Po vyriešení zistíme, že h = - 4.
• V našom vrcholovom tvare príklad (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), vieme, že h = 5 bez akejkoľvek matematiky.

Krok 4. Vypočítajte k

Rovnako ako h, k je už známe v rovnici formy píku. Pri rovniciach všeobecného tvaru pamätajte na to, že k = f (h). Inými slovami, k môžete nájsť tak, že nahradíte všetky hodnoty x vo svojej rovnici hodnotami h, ktoré ste práve našli.

• V našom všeobecnom príklade sme už určili, že h = -4. Aby sme našli k, vyriešime našu rovnicu vložením hodnoty h namiesto x:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    Krok 7.

• V našom príklade vrcholnej formy opäť poznáme hodnotu k (čo je 12) bez toho, aby sme museli robiť matematiku.

Krok 5. Nakreslite svoj vrchol

Vrcholom vašej paraboly je bod (h, k)-h predstavuje súradnicu x, zatiaľ čo k predstavuje súradnicu y. Vrchol je stredom vašej paraboly - buď v spodnej časti U alebo v hornej časti obráteného U. Poznanie vrcholov je dôležitou súčasťou kresby presnej paraboly - v škole je často určenie otázky vrcholom určenia vrcholu.

• V našom všeobecnom príklade je náš vrchol (-4, 7). Naša parabola teda vyvrcholí o 4 kroky vľavo od 0 a o 7 vyššie (0, 0). Tento bod musíme znázorniť na našom grafe a označiť súradnice.
• V našom príklade vrcholového tvaru je náš vrchol (5, 12). Musíme nakresliť bod 5 krokov vpravo a 12 krokov vyššie (0, 0).

Krok 6. Nakreslite os paraboly (voliteľné)

Os symetrie paraboly je priamka, ktorá prechádza jej stredom a rozdeľuje ju presne v strede. Na tejto osi bude ľavá strana paraboly odrážať pravú stranu. Pre kvadratické rovnice v tvare os² + bx + c alebo a (x - h)² + k, os symetrie je čiara, ktorá je rovnobežná s osou y (inými slovami presne zvislá) a prechádza vrcholom.

V prípade nášho všeobecného príkladu formy je os priamkou rovnobežnou s osou y a prechádzajúcou bodom (-4, 7). Aj keď to nie je súčasťou paraboly, tenké označenie tejto čiary v grafe vám nakoniec pomôže vidieť symetrický tvar parabolickej krivky

Krok 7. Nájdite smer otvárania paraboly

Potom, čo poznáme vrchol a os paraboly, musíme ďalej vedieť, či sa parabola otvára nahor alebo nadol. Našťastie je to jednoduché. Ak je hodnota a kladná, parabola sa otvorí smerom nahor, zatiaľ čo ak je hodnota a záporná, parabola sa otvorí nadol (t. J. Parabola bude obrátená).

• Pre náš všeobecný príklad (f (x) = 2x² + 16x + 39), vieme, že máme parabolu, ktorá sa otvára, pretože v našej rovnici a = 2 (kladné).
• Pre náš príklad vrcholového tvaru (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), vieme, že máme aj parabolu, ktorá sa otvára, pretože a = 4 (kladné).

Krok 8. Ak je to potrebné, nájdite a nakreslite x-posunutie

V školských úlohách vás často požiadajú, aby ste našli x-posun v parabole (čo je jeden alebo dva body, kde sa parabola stretáva s osou x). Aj keď nenájdete ani jeden, tieto dva body sú veľmi dôležité pre nakreslenie presnej paraboly. Avšak nie všetky paraboly majú intercept x. Ak má vaša parabola vrchol, ktorý sa otvára a jeho vrchol je nad osou x alebo ak sa otvára nadol a jeho vrchol je pod osou x, parabola nebude mať žiadny x-posun. V opačnom prípade vyriešte svoj x-intercept jedným z nasledujúcich spôsobov:

• Stačí urobiť f (x) = 0 a vyriešiť rovnicu. Túto metódu je možné použiť pre jednoduché kvadratické rovnice, najmä v špičkovej forme, ale pre zložité rovnice bude veľmi ťažká. Príklad nájdete nižšie

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • Koreň (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 a 13 je x-posun v parabole.

• Faktor svojej rovnice. Niektoré rovnice vo forme sekera² + bx + c je možné jednoducho zapracovať do tvaru (dx + e) (fx + g), kde dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx, a e × g = c. V tomto prípade sú vaše x-intercepty hodnoty x, ktoré urobia akýkoľvek výraz v zátvorkách = 0. Napríklad:

  • X² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • V tomto prípade je váš jediný x -priesečník -1, pretože ak sa x rovná -1, akýkoľvek faktor v zátvorkách sa rovná 0.

• Použite kvadratický vzorec. Ak neviete jednoducho vyriešiť svoj x-intercept alebo faktorizovať svoju rovnicu, použite špeciálnu rovnicu nazývanú kvadratický vzorec, ktorá bola vytvorená na tento účel. Ak to ešte nie je vyriešené, preveďte svoju rovnicu na tvar osi² + bx + c, potom zadajte a, b, ac do vzorca x = (-b +/- sqrt (b)² - 4ac))/2a. Všimnite si toho, že táto metóda vám často dáva dve odpovede na hodnotu x, čo je v poriadku-znamená to len, že vaša parabola má dva x interceptov. Príklad nájdete nižšie:

  • -5x² + 1x + 10 sa vloží do kvadratického vzorca takto:
  • x = (-1 +/- Koreň (1.)² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- Koreň (1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- Koreň (201))/-10
  • x = (-1 +/- 14, 18)/-10
  • x = (13, 18/-10) a (-15, 18/-10). Intercept x v parabole je x = - 1, 318 a 1, 518
  • Náš predchádzajúci príklad všeobecného formulára, 2x² +16x+39 sa vloží do kvadratického vzorca takto:
  • x = (-16 +/- Koreň (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- Koreň (256- 312))/4
  • x = (-16 +/- Koreň (-56)/-10
  • Pretože nie je možné nájsť druhú odmocninu záporného čísla, vieme, že ide o parabolu nemá žiadny x-posun.

Krok 9. Ak je to potrebné, nájdite a nakreslite zachytenie y

Aj keď často nie je potrebné hľadať rovnicu y v rovniciach (bod, kde parabola prechádza osou y), možno ju nakoniec budete musieť nájsť, najmä ak ste v škole. Tento proces je pomerne jednoduchý-urobte x = 0, potom vyriešte svoju rovnicu pre f (x) alebo y, ktorá dáva hodnotu y, kde parabola prechádza osou y. Na rozdiel od x-interceptu môže mať pravidelná parabola iba jeden y-intercept. Poznámka-pre rovnice všeobecného tvaru je priesečník y na y = c.

• Napríklad vieme, že naša kvadratická rovnica je 2x² + 16x + 39 má priesečník y na y = 39, ale možno ho nájsť aj nasledujúcim spôsobom:

  • f (x) = 2x² +16x+39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. Intercept y paraboly je na y = 39.

    Ako bolo uvedené vyššie, zachytenie y je na y = c.

• Forma našej vrcholovej rovnice je 4 (x - 5)² + 12 má zachytenie y, ktoré možno nájsť nasledujúcim spôsobom:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. Intercept y paraboly je na y = 112.

Krok 10. V prípade potreby nakreslite ďalšie body a potom nakreslite graf

Teraz máte vo svojej rovnici vrchol, smer, zachytenie x a možno aj os y. V tejto fáze sa môžete pokúsiť nakresliť svoju parabolu pomocou bodov, ktoré máte ako vodítko, alebo vyhľadať ďalšie body na vyplnenie paraboly, aby bola nakreslená krivka presnejšia. Najľahšie to urobíte tak, že jednoducho zadáte niektoré hodnoty x na ľubovoľnú stranu vrcholu a potom tieto body vykreslíte pomocou hodnôt y, ktoré získate. Učitelia vás často požiadajú, aby ste pred nakreslením paraboly hľadali niekoľko bodov.

• Pozrime sa na rovnicu x² + 2x + 1. Už vieme, že x -posunutie je iba na x = -1. Pretože sa krivka dotýka interceptu x iba v jednom bode, môžeme usúdiť, že vrchol je jeho x-intercept, čo znamená, že vrchol je (-1, 0). Pre túto parabolu máme v skutočnosti iba jeden bod - nestačí na nakreslenie dobrej paraboly. Pozrime sa na ďalšie body, aby sme sa presvedčili, že nakreslíme dôkladný graf.

  • Nájdeme hodnoty y pre nasledujúce hodnoty x: 0, 1, -2 a -3.
  • Pre 0: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. Náš bod je (0, 1).

  • Pre 1: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. Náš bod je (1, 4).

  • Pre -2: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. Náš bod je (-2, 1).

  • Pre -3: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. Náš bod je (-3, 4).

  • Nakreslite tieto body do grafu a nakreslite svoju krivku v tvare U. Všimnite si toho, že parabola je dokonale symetrická - keď sú vaše body na jednej strane paraboly celé čísla, môžete zvyčajne obmedziť prácu tým, že daný bod jednoducho odrazíte na osi symetrie paraboly, aby ste našli rovnaký bod na druhej strane paraboly..

Tipy

• Zaokrúhľujte čísla alebo používajte zlomky podľa požiadaviek svojho učiteľa algebry. To vám pomôže lepšie vykresliť kvadratickú rovnicu.
• Všimnite si, že v f (x) = ax² + bx + c, ak sa b alebo c rovná nule, tieto čísla zmiznú. Napríklad 12x² + 0x + 6 sa zmení na 12x² + 6, pretože 0x je 0.