Vektor je fyzikálna veličina, ktorá má veľkosť aj smer (napr. Rýchlosť, zrýchlenie a posun), na rozdiel od skalára, ktorý pozostáva iba z veľkosti (napr. Rýchlosť, vzdialenosť alebo energia). Ak je možné skaláry sčítať pridaním veličín (napr. 5 kJ práca plus 6 kJ práca sa rovná 11 kJ práca), vektory sú na pridanie alebo odčítanie trochu zložitejšie. V nižšie uvedenom kroku 1 sa dozviete niekoľko spôsobov pridávania alebo odčítania vektorov.
Krok
Metóda 1 z 3: Sčítanie a odčítanie vektorov, ktorých súčasti sú známe
Krok 1. Zapíšte si rozmerové zložky vektora do vektorového zápisu
Pretože vektory majú veľkosť a smer, môžu byť zvyčajne rozdelené na časti na základe rozmerov x, y a/alebo z. Tieto dimenzie sú zvyčajne zapísané v podobnom zápise na opis bodu v súradnicovom systéme (napr. A iných). Ak poznáte túto časť, pridávanie alebo odčítanie vektorov je veľmi jednoduché, stačí sčítať alebo odčítať ich súradnice x, y a z.
- Všimnite si, či sú rozmery vektora 1, 2 alebo 3. Vektor teda môže mať komponenty x, x a y alebo x, y a z. Náš nasledujúci príklad používa 3-rozmerný vektor, ale tento proces je ako 1 alebo 2-rozmerný vektor.
- Predpokladajme, že máme dva trojrozmerné vektory, vektor A a vektor B. Tieto vektory môžeme zapísať pomocou vektorového zápisu, ako napríklad A = a B =, kde a1 a a2 sú x komponenty, b1 a b2 sú y komponenty a c1 a c2 sú súčiastky z.
Krok 2. Ak chcete pridať dva vektory, sčítajte ich komponenty
Ak sú známe dve zložky vektora, môžete vektory pridať pridaním komponentov každého z nich. Inými slovami, pridajte x-komponent prvého vektora k x-komponentu druhého vektora a urobte to isté pre y a z. Odpoveď, ktorú získate po súčte komponentov x, y a z týchto vektorov, sú komponenty x, y a z vášho nového vektora.
- Všeobecne povedané, A+B =.
- Pridajme dva vektory A a B. A = a B =. A + B =, alebo.
Krok 3. Ak chcete odčítať oba vektory, odčítajte ich zložky
Ako budeme diskutovať neskôr, odpočítanie jedného vektora od druhého možno považovať za pridanie jeho recipročných vektorov. Ak sú zložky oboch vektorov známe, je možné odčítať jeden vektor od druhého odčítaním prvého komponentu od druhého komponentu (alebo sčítaním negatívnych komponentov oboch).
- Všeobecne povedané, A-B =
- Odpočítajme dva vektory A a B. A = a B =. A - B =, alebo.
Metóda 2 z 3: Sčítanie a odčítanie obrázkov pomocou metódy hlava a chvost
Krok 1. Symbolizujte vektor tým, že ho nakreslíte pomocou hlavy a chvosta
Pretože vektory majú veľkosť aj smer, môžeme povedať, že majú chvost a hlavu. Inými slovami, vektor má počiatočný bod a koncový bod, ktorý udáva smer vektora, ktorého vzdialenosť od počiatočného bodu je rovnaká ako veľkosť vektora. Keď je vektor nakreslený, má tvar šípky. Špička šípky je hlava vektora a koniec vektorovej čiary je chvost.
Ak vytvárate vektorovú kresbu s rozmermi, budete musieť presne zmerať a nakresliť všetky rohy. Nesprávny uhol obrázku ovplyvní výsledný výsledok, keď sa pomocou tejto metódy pridajú alebo odčítajú dva vektory
Krok 2. Ak chcete pridať, nakresliť alebo posunúť druhý vektor tak, aby sa chvost stretol s hlavou prvého vektora
Toto sa nazýva kombinovanie vektorov hlava - chvost. Ak práve sčítate dva vektory, tu je to, čo musíte urobiť, než nájdete výsledný vektor.
Všimnite si toho, že na poradí, v ktorom pridávate vektory, nezáleží, za predpokladu, že použijete rovnaký počiatočný bod. Vektor A + Vektor B = Vektor B + Veltor A
Krok 3. Ak chcete odčítať, pridajte do vektora záporné znamienko
Redukcia vektorov pomocou obrázkov je veľmi jednoduchá. Obráťte smer vektora, ale ponechajte veľkosť na rovnakej úrovni a spočítajte hlavu a chvost vektora ako obvykle. Inými slovami, na odčítanie vektora otočte vektor o 180o a sčítať.
Krok 4. Ak pridáte alebo odčítate viac ako dva vektory, skombinujte všetky vektory v poradí od hlavy k chvostu
Na poradí zlúčenia nezáleží. Túto metódu je možné použiť bez ohľadu na počet vektorov.
Krok 5. Nakreslite nový vektor od chvosta prvého vektora po hlavu posledného vektora
Či už sčítate/odčítate dva alebo sto vektorov, vektor, ktorý sa rozprestiera od počiatočného počiatočného bodu (chvost prvého vektora) po koncový bod posledného vektora (hlava posledného vektora), je výsledný vektor. alebo súčet všetkých vašich vektorov. Uvedomte si, že tento vektor je úplne rovnaký ako vektor získaný súčtom všetkých zložiek x, y a/alebo z.
- Ak nakreslíte všetky svoje vektory na veľkosť, správnym meraním všetkých uhlov môžete určiť veľkosť výsledného vektora zmeraním dĺžky. Môžete tiež zmerať uhol medzi výsledným a akýmkoľvek vektorom horizontálne alebo vertikálne, aby ste určili jeho smer.
- Ak nenačrtnete všetky svoje vektory na veľkosť, možno budete musieť vypočítať veľkosť výslednice pomocou trigonometrie. Možno pomôžu pravidlá pre sínus a kosínus. Ak pridáte viac ako dva vektory, je užitočné pridať prvý vektor do druhého, potom pridať výslednicu druhého do tretieho atď. Ďalšie informácie nájdete v nasledujúcich častiach.
Krok 6. Nakreslite výsledný vektor pomocou jeho veľkosti a smeru
Vektor je definovaný svojou dĺžkou a smerom. Ako je uvedené vyššie, za predpokladu, že ste nakreslili svoj vektor presne, veľkosť vášho nového vektora je jeho dĺžka a jeho smer je uhol vzhľadom na zvislý alebo vodorovný smer. Pomocou jednotkových vektorov, ktoré sčítate alebo odčítate, určte jednotky pre veľkosť výsledného vektora.
Ak napríklad pridané vektory predstavujú rýchlosť v ms-1potom môže byť výsledný vektor definovaný ako "rýchlosť x ms-1 proti y o do horizontálneho smeru.
Metóda 3 z 3: Sčítanie a odčítanie vektorov zadaním vektorových rozmerových komponentov
Krok 1. Na určenie zložiek vektora použite trigonometriu
Aby ste našli zložky vektora, zvyčajne potrebujete poznať jeho veľkosť a smer vzhľadom na horizontálny alebo vertikálny smer a porozumieť trigonometrii. Za predpokladu 2-rozmerného vektora si najskôr predstavte svoj vektor ako preponu pravouhlého trojuholníka, ktorého dve strany sú rovnobežné so smermi x a y. Tieto dve strany môžu byť predstavované ako súčasti vektora od hlavy k chvostu, ktoré spolu tvoria váš vektor.
- Dĺžky oboch strán sa rovnajú zložkám x a y vášho vektora a dajú sa vypočítať pomocou trigonometrie. Ak x je vektorová veľkosť, strana susediaca s vektorovým uhlom (vzhľadom na horizontálny, vertikálny a ďalší smer) je xcos (θ), pričom opačná strana je xsin (θ).
- Je tiež dôležité poznamenať si smer vašich komponentov. Ak komponent ukazuje na negatívnu súradnicu, je mu priradené záporné znamienko. Napríklad v 2-rozmernej rovine, ak komponent smeruje doľava alebo nadol, je záporný.
- Povedzme napríklad, že máme vektor s magnitúdou 3 a smerom 135o vzhľadom na horizontálu. Na základe týchto informácií môžeme určiť, že zložka x je 3cos (135) = - 2, 12 a zložka y je 3sin (135) = 2, 12
Krok 2. Pridajte alebo odčítajte dva alebo viac súvisiacich vektorov
Akonáhle nájdete komponenty všetkých vašich vektorov, sčítajte ich a nájdite komponenty svojho výsledného vektora. Najprv spočítajte všetky veľkosti horizontálnych komponentov (ktoré sú rovnobežné so smerom x). Samostatne sčítajte všetky veľkosti zvislých komponentov (ktoré sú rovnobežné so smerom y). Ak je zložka záporná (-), jej veľkosť sa odpočíta, nie sčíta. Odpoveď, ktorú dostanete, je súčasťou vášho výsledného vektora.
Do vektora sa napríklad pridá vektor z predchádzajúceho kroku,. V tomto prípade sa výsledný vektor stane alebo
Krok 3. Vypočítajte veľkosť výsledného vektora pomocou Pytagorovej vety
Pytagorova veta c2= a2+b2, sa používa na zistenie dĺžky strany pravouhlého trojuholníka. Pretože trojuholník tvorený naším výsledným vektorom a jeho súčasťami je pravouhlý trojuholník, môžeme ho použiť na nájdenie dĺžky a veľkosti vektora. Keďže c je veľkosť výsledného vektora, ktorý hľadáte, predpokladajme, že a je veľkosť zložky x a b je veľkosť zložky y. Riešenie pomocou algebry.
-
Ak chcete nájsť veľkosť vektora, ktorého súčasti sme hľadali v predchádzajúcom kroku, použite Pytagorovu vetu. Vyriešte nasledovne:
- c2=(3, 66)2+(-6, 88)2
- c2=13, 40+47, 33
- c = √ 60, 73 = 7, 79
Krok 4. Vypočítajte výsledný smer pomocou funkcie Tečna
Nakoniec nájdite výsledný vektor smeru. Použite vzorec = tan-1(b/a), kde je veľkosť uhla vytvoreného v x alebo horizontálnom smere, b je veľkosť zložky y a a je veľkosť zložky x.
-
Ak chcete nájsť smer nášho vektora, použite = tan-1(b/a).
- = opálenie-1(-6, 88/3, 66)
- = opálenie-1(-1, 88)
- = -61, 99o
Krok 5. Nakreslite výsledný vektor podľa jeho veľkosti a smeru
Ako je uvedené vyššie, vektory sú definované svojou veľkosťou a smerom. Uistite sa, že používate vhodné jednotky pre svoju veľkosť vektora.
Ak napríklad náš vektorový príklad predstavuje silu (v Newtonoch), môžeme ju napísať „sila 7,79 N o -61,99 o horizontálne ".
Tipy
- Vektor sa líši od veľkého.
- Vektory s rovnakým smerom možno sčítať alebo odčítať pridaním alebo odčítaním ich veličín. Ak ty zhrnúť dva vektory, ktoré sú opačné, ich veľkosti sú odčítané, nie sčítané.
- Vektory reprezentované v tvare x i + y j + z k je možné sčítať alebo odčítať pridaním alebo odčítaním koeficientov troch jednotkových vektorov. Odpoveď je tiež vo forme i, j a k.
- Veľkosť trojrozmerného vektora môžete zistiť pomocou vzorca a2= b2+c2+d2 kde a je veľkosť vektora a b, c a d sú zložky každého smeru.
- Vektory stĺpcov je možné sčítať a odčítať pridaním alebo odčítaním hodnôt každého riadka.
