V matematike, faktoring je spôsob hľadania čísel alebo výrazov, ktoré keď sa vynásobia, vytvoria dané číslo alebo rovnicu. Faktoring je užitočná schopnosť naučiť sa riešiť jednoduché problémy s algebrou; schopnosť dobre faktorizovať, sa stáva dôležitou pri riešení kvadratických rovníc a iných foriem polynómov. Faktoring možno použiť na zjednodušenie algebraických výrazov, aby boli ich riešenia jednoduchšie. Factoring vám môže dokonca dať možnosť odstrániť niektoré možné odpovede oveľa rýchlejšie, ako ich ručne riešiť.
Krok
Metóda 1 z 3: Factoring Numbers a jednoduché algebraické výrazy
Krok 1. Pochopte definíciu faktoringu pri použití na jednoduché čísla
Faktoring je jednoduchý koncept, ale v praxi môže byť náročný, keď sa aplikuje na zložité rovnice. Preto je najľahšie priblížiť sa k pojmu faktoring tým, že začnete jednoduchými číslami, potom prejdete k jednoduchým rovniciam a nakoniec prejdete na zložitejšie aplikácie. Faktory čísla sú čísla, ktoré po vynásobení číslo vyprodukujú. Faktory 12 sú napríklad 1, 12, 2, 6, 3 a 4, pretože 1 × 12, 2 × 6 a 3 × 4 sa rovnajú 12.
- Ďalší spôsob, ako o tom premýšľať, je, že faktormi čísla sú čísla, ktoré sa dajú na číslo rozdeliť rovnomerne.
-
Dokážete nájsť všetky faktory čísla 60? Číslo 60 používame na rôzne účely (minúty za hodinu, sekundy za minútu atď.), Pretože ho možno rozdeliť pomerne veľkým počtom ďalších čísel.
Faktory 60 sú 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 a 60
Krok 2. Pochopte, že variabilné výrazy môžu byť tiež započítané
Rovnako ako je možné faktorizovať samotné čísla, je možné faktorizovať aj premenné s číselnými koeficientmi. Ak to chcete urobiť, stačí nájsť faktory variabilných koeficientov. Vedieť, ako faktorizovať premennú, je veľmi užitočné na zjednodušenie algebraických rovníc zahŕňajúcich túto premennú.
-
Napríklad premennú 12x je možné zapísať ako súčin faktorov 12 a x. Môžeme písať 12x ako 3 (4x), 2 (6x) atď., Pričom použijeme faktory, ktoré pre naše účely najlepšie fungujú.
Môžeme dokonca faktorovať 12 -krát viackrát. Inými slovami, nemusíme sa zastaviť na 3 (4x) alebo 2 (6x) - môžeme faktorovať 4x a 6x, aby sme vytvorili 3 (2 (2x) a 2 (3 (2x)). Samozrejme, tieto dva výrazy sú rovnocenné
Krok 3. Aplikujte distribučnú vlastnosť násobenia na faktorové algebraické rovnice
Vďaka svojim znalostiam o tom, ako koeficientovať jednoduché čísla aj premenné pomocou koeficientov, môžete zjednodušiť jednoduché algebraické rovnice tým, že nájdete faktory, ktoré čísla a premenné zdieľajú v algebraických rovniciach. Na zjednodušenie rovnice sa zvyčajne pokúšame nájsť najväčší spoločný faktor. Toto zjednodušenie je možné kvôli distribučnej vlastnosti násobenia, ktoré platí pre akékoľvek číslo a, b a c. a (b + c) = ab + ac.
- Skúsme príkladnú otázku. Aby sme rozdelili algebraickú rovnicu 12x + 6, najskôr sa pokúsme nájsť najväčší spoločný faktor 12x a 6. 6 je najväčšie číslo, ktoré môže rovnomerne rozdeliť 12x a 6, takže rovnicu môžeme zjednodušiť na 6 (2x + 1).
- Tento postup platí aj pre rovnice so zápornými číslami a zlomkami. Napríklad x/2 + 4 je možné zjednodušiť na 1/2 (x + 8) a -7x + -21 je možné započítať do -7 (x + 3).
Metóda 2 z 3: Faktoring kvadratických rovníc
Krok 1. Uistite sa, že rovnica je v kvadratickej forme (os2 + bx + c = 0).
Kvadratické rovnice majú tvar sekera2 + bx + c = 0, kde a, b, a c sú číselné konštanty a nie sú rovné 0 (všimnite si, že a sa môže rovnať 1 alebo -1). Ak máte rovnicu, ktorá má jednu premennú (x), ktorá má jeden výraz x na mocninu dvoch alebo viacerých, zvyčajne tieto výrazy v rovnici presuniete pomocou jednoduchých algebraických operácií, aby ste dostali 0 na obidve strany znamienka a osy rovnosti2, atď. na druhej strane.
- Predstavme si napríklad algebraickú rovnicu. 5x2 + 7x - 9 = 4x2 + x - 18 je možné zjednodušiť na x2 + 6x + 9 = 0, čo je tvar štvorca.
- Rovnice s väčšou silou x, napríklad x3, X4, atď. nie sú kvadratické rovnice. Tieto rovnice sú kubickými rovnicami až po štvrtú mocninu a podobne, pokiaľ nie je možné rovnicu zjednodušiť na odstránenie týchto x výrazov s mocnosťami väčšími ako 2.
Krok 2. V kvadratickej rovnici, kde a = 1, súčiníme do (x+d) (x+e), kde d × e = c a d+e = b
Ak je vaša kvadratická rovnica v tvare x2 + bx + c = 0 (inými slovami, ak je koeficient výrazu x2 = 1), je možné (ale nie je zaručené), že na faktorovanie rovnice možno použiť pomerne jednoduchú skrátenú metódu. Nájdite dve čísla, ktoré po vynásobení dajú c a zrátané na produkciu b. Potom, čo ste hľadali tieto dve čísla d a e, zadajte ich do nasledujúceho výrazu: (x+d) (x+e). Po vynásobení týchto dvoch výrazov získate svoju kvadratickú rovnicu - inými slovami, sú to faktory vašej kvadratickej rovnice.
- Uvažujme napríklad o kvadratickej rovnici x2 + 5x + 6 = 0. 3 a 2 sa vynásobia na 6 a tiež sčítajú na 5, takže môžeme túto rovnicu zjednodušiť na (x + 3) (x + 2).
-
Mierny rozdiel v tejto základnej skrátenej metóde spočíva v rozdieloch v samotných podobnostiach:
- Ak je kvadratická rovnica v tvare x2-bx+c, vaša odpoveď je v tomto tvare: (x - _) (x - _).
- Ak je rovnica v tvare x2+ bx + c, vaša odpoveď vyzerá takto: (x + _) (x + _).
- Ak je rovnica v tvare x2-bx -c, vaša odpoveď je v tvare (x + _) (x -_).
- Poznámka: čísla na prázdnych miestach môžu byť zlomky alebo desatinné miesta. Napríklad rovnica x2 + (21/2) x + 5 = 0 sa započítava do (x + 10) (x + 1/2).
Krok 3. Ak je to možné, faktorujte kontrolami
Verte či neverte, v prípade nekomplikovaných kvadratických rovníc je jednou z povolených metód faktorovania skúmanie problému a potom zvažovanie možných odpovedí, kým nenájdete správnu odpoveď. Táto metóda je známa aj ako faktoring prostredníctvom vyšetrenia. Ak je rovnica v tvare osi2+bx +c a a> 1, vaša faktorová odpoveď je vo forme (dx +/- _) (ex +/- _), kde d a e sú konštanty nenulových čísel, ktoré pri vynásobení poskytujú a. D ani e (alebo oboje) nemôže byť 1, aj keď nemusí byť. Ak sú obaja 1, v zásade používate skrátenú metódu popísanú vyššie.
Zamyslime sa nad príkladným problémom. 3x2 - 8x + 4 vyzerá spočiatku ťažko. Akonáhle si však uvedomíme, že 3 má iba dva faktory (3 a 1), je táto rovnica jednoduchšia, pretože vieme, že naša odpoveď musí mať tvar (3x +/- _) (x +/- _). V takom prípade poskytne správnu odpoveď pridanie -2 do oboch medzier. -2 × 3x = -6x a -2 × x = -2x. -6x a -2x súčet až -8x. -2 × -2 = 4, takže vidíme, že termíny započítané v zátvorkách pri násobení vytvárajú pôvodnú rovnicu.
Krok 4. Vyriešte vyplnením štvorca
V niektorých prípadoch je možné kvadratické rovnice rýchlo a ľahko vytvoriť pomocou špeciálnych algebraických identít. Akákoľvek kvadratická rovnica v tvare x2 + 2xh + h2 = (x + h)2. Ak je teda vo vašej rovnici hodnota b dvojnásobkom druhej odmocniny vašej hodnoty c, vašu rovnicu je možné započítať do (x + (root (c)))2.
Napríklad rovnica x2 +6x+9 má tento tvar. 32 je 9 a 3 × 2 je 6. Vieme teda, že faktorová forma tejto rovnice je (x + 3) (x + 3) alebo (x + 3)2.
Krok 5. Na vyriešenie kvadratických rovníc použite faktory
Bez ohľadu na to, ako ste faktorizovali svoju kvadratickú rovnicu, akonáhle je rovnica vytvorená, môžete nájsť možné odpovede na hodnotu x tak, že každý faktor nastavíte na nulu a vyriešite ich. Pretože hľadáte hodnotu x, ktorá robí vašu rovnicu nulovou, hodnota x, ktorá robí akýkoľvek faktor rovným nule, je možnou odpoveďou na vašu kvadratickú rovnicu.
Vráťme sa k rovnici x2 + 5x + 6 = 0. Táto rovnica je zapracovaná do (x + 3) (x + 2) = 0. Ak sa ktorýkoľvek faktor rovná 0, všetky rovnice sa rovnajú 0, takže naše možné odpovede pre x sú čísla- číslo, ktoré robí (x + 3) a (x + 2) sa rovná 0. Tieto čísla sú -3, respektíve -2.
Krok 6. Skontrolujte svoje odpovede - niektoré odpovede môžu byť zavádzajúce
Akonáhle nájdete možné odpovede pre x, zapojte ich späť do pôvodnej rovnice a zistite, či je odpoveď správna. Niekedy odpovede, ktoré nájdete, nerobia pri opätovnom zadaní pôvodnú rovnicu rovnú nule. Túto odpoveď nazývame deviantná a ignorujeme ju.
-
Dajme -2 a -3 do x2 + 5x + 6 = 0. Najprv, -2:
- (-2)2 + 5(-2) + 6 = 0
- 4 + -10 + 6 = 0
- 0 = 0. Táto odpoveď je správna, takže -2 je správna odpoveď.
-
Skúsme teraz -3:
- (-3)2 + 5(-3) + 6 = 0
- 9 + -15 + 6 = 0
- 0 = 0. Táto odpoveď je tiež správna, takže -3 je správna odpoveď.
Metóda 3 z 3: Faktoring ďalších rovníc
Krok 1. Ak je rovnica vyjadrená v tvare a2-b2, súčiniteľ (a+b) (a-b).
Rovnice s dvoma premennými majú iné faktory ako základná kvadratická rovnica. Pre rovnicu a2-b2 čokoľvek, kde a a b nie sú rovné 0, faktory rovnice sú (a+b) (a-b).
Napríklad rovnica 9x2 - 4 roky2 = (3x + 2r) (3x - 2r).
Krok 2. Ak je rovnica vyjadrená v tvare a2+2ab+b2, súčiniteľ (a+b)2.
Všimnite si toho, že ak je trojčlen tvaru a2-2ab+b2, tvarové faktory sa mierne líšia: (a-b)2.
4x. Rovnica2 + 8xy + 4r2 je možné prepísať ako 4x2 + (2 × 2 × 2) xy + 4r2. Teraz vidíme, že forma je správna, takže si môžeme byť istí, že faktory našej rovnice sú (2x + 2r)2
Krok 3. Ak je rovnica vyjadrená v tvare a3-b3, súčiniteľ do (a-b) (a2+ab+b2).
Nakoniec už bolo spomenuté, že kubické rovnice a ešte vyššie mocniny je možné započítať, aj keď proces faktoringu sa rýchlo stáva veľmi komplikovaným.
Napríklad 8x3 - 27 rokov3 započítané do (2x - 3r) (4x2 + ((2x) (3r)) + 9r2)
Tipy
- a2-b2 môže byť faktorizované, a2+b2 nie je možné zohľadniť.
- Pamätajte si, ako faktorovať konštantu. Toto môže pomôcť.
- Pri faktoringu buďte opatrní so zlomkami a pracujte so zlomkami správne a opatrne.
- Ak máte trojčlen tvaru x2+ bx+ (b/2)2, tvarový faktor je (x+(b/2))2. (S touto situáciou sa môžete stretnúť pri dokončovaní štvorca.)
- Nezabudnite, že a0 = 0 (vlastnosť súčinu nuly).
