V „systéme rovníc“sa od vás požaduje, aby ste vyriešili dve alebo viac rovníc súčasne. Keď tieto dve rovnice majú dve rôzne premenné, napríklad x a y, riešenie sa môže na prvý pohľad zdať ťažké. Našťastie, keď budete vedieť, čo musíte urobiť, môžete na vyriešenie problému jednoducho použiť svoje algebraické schopnosti (a vedu o výpočte zlomkov). Naučte sa tiež nakresliť tieto dve rovnice, ak sa učíte vizuálne alebo to vyžaduje učiteľ. Kresby vám pomôžu identifikovať predmet alebo skontrolovať výsledky vašej práce. Táto metóda je však pomalšia ako ostatné metódy a nemožno ju použiť pre všetky systémy rovníc.
Krok
Metóda 1 z 3: Použitie substitučnej metódy
Krok 1. Presuňte premenné na opačnú stranu rovnice
Substitučná metóda začína „nájdením hodnoty x“(alebo akejkoľvek inej premennej) v jednej z rovníc. Povedzme napríklad, že rovnica problému je 4x + 2r = 8 a 5x + 3y = 9. Začnite prácou na prvej rovnici. Usporiadajte rovnicu odčítaním 2y na oboch stranách. Tak získate 4x = 8 - 2r.
Táto metóda často používa na konci zlomky. Ak vás nebaví počítať zlomky, vyskúšajte nižšie uvedenú eliminačnú metódu
Krok 2. Rozdeľte obe strany rovnice na „nájdenie hodnoty x“
Akonáhle je výraz x (alebo akákoľvek premenná, ktorú používate) sám na jednej strane rovnice, rozdeľte obe strany rovnice koeficientmi tak, aby zostala iba premenná. Ako príklad:
- 4x = 8 - 2r
- (4x)/4 = (8/4) - (2 roky/4)
- x = 2 - r
Krok 3. Pripojte hodnotu x z prvej rovnice k druhej rovnici
Uistite sa, že ste ho zapojili do druhej rovnice, nie do tej, na ktorej ste práve pracovali. Nahraďte (nahraďte) premennú x v druhej rovnici. Druhá rovnica má teda teraz iba jednu premennú. Ako príklad:
- Je známe x = 2 - r.
- Vaša druhá rovnica je 5x + 3r = 9.
- Po zámene premennej x v druhej rovnici za hodnotu x z prvej rovnice získame „2 - y“: 5 (2 - y) + 3y = 9.
Krok 4. Vyriešte zostávajúce premenné
Teraz má vaša rovnica iba jednu premennú. Vypočítajte rovnicu bežnými algebraickými operáciami a nájdite hodnotu premennej. Ak sa tieto dve premenné navzájom vylučujú, prejdite priamo na posledný krok. V opačnom prípade dostanete hodnotu pre jednu z premenných:
- 5 (2 - y) + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (Ak tomuto kroku nerozumiete, prečítajte si, ako pridať zlomky.)
- 10 + y = 9
- y = -1
- y = -2
Krok 5. Použitou odpoveďou nájdite skutočnú hodnotu x v prvej rovnici
Ešte neprestávajte, pretože vaše výpočty ešte nie sú hotové. Získanú odpoveď musíte vložiť do prvej rovnice, aby ste našli hodnotu zostávajúcich premenných:
- Je známe y = -2
- Jedna z rovníc v prvej rovnici je 4x + 2r = 8. (Môžete použiť jeden z nich.)
- Nahraďte premennú y hodnotou -2: 4x + 2 (-2) = 8.
- 4x - 4 = 8
- 4x = 12
- x = 3
Krok 6. Vedzte, čo robiť, ak sa tieto dve premenné navzájom vylučujú
Keď vstúpite x = 3 roky+2 alebo podobná odpoveď na druhú rovnicu, to znamená, že sa pokúšate získať rovnicu, ktorá má iba jednu premennú. Niekedy jednoducho dostanete rovnicu bez premenná. Skontrolujte svoju prácu a uistite sa, že ste zadali (preusporiadanú) rovnicu jedna do rovnice dve, namiesto toho, aby ste sa vracali k prvej rovnici. Keď ste si istí, že ste neurobili nič zlé, napíšte jeden z nasledujúcich výsledkov:
- Ak rovnica nemá žiadne premenné a nie je pravdivá (napríklad 3 = 5), je tento problém nemám odpoveď. (Keď je to zobrazené v grafe, tieto dve rovnice sú rovnobežné a nikdy sa nestretnú.)
- Ak rovnica nemá žiadne premenné a Správne, (napr. 3 = 3), čo znamená, že otázka má neobmedzené odpovede. Rovnica jedna je úplne rovnaká ako rovnica dve. (V grafe sú tieto dve rovnice rovnakou čiarou.)
Metóda 2 z 3: Použitie vylučovacej metódy
Krok 1. Nájdite navzájom sa vylučujúce premenné
Niekedy rovnica v probléme už je navzájom sa zrušiť keď sa sčítajú. Ak napríklad urobíte rovnicu 3x + 2r = 11 a 5x - 2r = 13, výrazy „+2y“a „-2y“sa navzájom vyrušia a odstránia z rovnice premennú „y“. Pozrite sa na rovnicu v probléme a zistite, či existujú premenné, ktoré sa navzájom vylučujú, ako v príklade. Ak nie, pokračujte ďalším krokom.
Krok 2. Vynásobte rovnicu jednou, aby bola odstránená jedna premenná
(Tento krok preskočte, ak sa už premenné navzájom rušia.) Ak rovnica neobsahuje premenné, ktoré sa môžu zrušiť samy, zmeňte jednu z rovníc, aby sa mohli navzájom zrušiť. Pozrite sa na nasledujúce príklady, aby ste im ľahko rozumeli:
- Rovnice v probléme sú 3x - y = 3 a - x + 2y = 4.
- Zmeňme prvú rovnicu tak, aby premenná r navzájom sa zrušiť. (Môžete použiť premennú X. Konečná získaná odpoveď bude rovnaká.)
- Variabilné - r v prvej rovnici musí byť odstránené pomocou + 2r v druhej rovnici. Ako, znásobiť - r s 2.
- Vynásobte obe strany rovnice 2, a to nasledovne: 2 (3x - y) = 2 (3), takže 6x - 2y = 6. Teraz kmeň - 2 roky sa navzájom zrušia pomocou +2r v druhej rovnici.
Krok 3. Skombinujte dve rovnice
Ide o to, pridať pravú stranu prvej rovnice na pravú stranu druhej rovnice a ľavú stranu prvej rovnice pridať na ľavú stranu druhej rovnice. Ak sa to urobí správne, jedna z premenných sa navzájom zruší. Pokúsme sa pokračovať vo výpočte z predchádzajúceho príkladu:
- Vaše dve rovnice sú 6x - 2y = 6 a - x + 2y = 4.
- Sčítajte ľavé strany týchto dvoch rovníc: 6x - 2r - x + 2r =?
- Sčítajte pravé strany dvoch rovníc: 6x - 2r - x + 2y = 6 + 4.
Krok 4. Získajte poslednú hodnotu premennej
Zjednodušte svoju zloženú rovnicu a pracujte so štandardnou algebrou, aby ste získali hodnotu poslednej premennej. Ak po zjednodušení rovnica nemá žiadne premenné, pokračujte posledným krokom v tejto časti.
V opačnom prípade dostanete hodnotu pre jednu z premenných. Ako príklad:
- Je známe 6x - 2r - x + 2y = 6 + 4.
- Skupinové premenné X a r spolu: 6x - x - 2r + 2r = 6 + 4.
- Zjednodušte rovnicu: 5x = 10
- Nájdite hodnotu x: (5x)/5 = 10/5, získať x = 2.
Krok 5. Nájdite hodnotu ďalšej premennej
Našli ste hodnotu jednej premennej, ale čo tá druhá? Pripojte svoju odpoveď do jednej z rovníc a nájdite hodnotu zostávajúcej premennej. Ako príklad:
- Je známe x = 2, a jedna z rovníc v tomto probléme je 3x - y = 3.
- Nahraďte premennú x hodnotou 2: 3 (2) - y = 3.
- Nájdite hodnotu y v rovnici: 6 - y = 3
- 6 - y + y = 3 + r, takže 6 = 3 + r
- 3 = r
Krok 6. Vedzte, čo robiť, keď sa tieto dve premenné navzájom vylučujú
Niekedy kombináciou dvoch rovníc vznikne rovnica, ktorá nedáva zmysel alebo vám nepomôže problém vyriešiť. Skontrolujte svoju prácu a ak ste si istí, že ste neurobili nič zlé, napíšte jednu z nasledujúcich dvoch odpovedí:
- Ak kombinovaná rovnica nemá žiadne premenné a nie je pravdivá (napríklad 2 = 7), je tento problém nemám odpoveď. Táto odpoveď platí pre obe rovnice. (Keď je to zobrazené v grafe, tieto dve rovnice sú rovnobežné a nikdy sa nestretnú.)
- Ak kombinovaná rovnica nemá žiadne premenné a Správne, (napr. 0 = 0), čo znamená, že otázka má neobmedzené odpovede. Tieto dve rovnice sú si navzájom podobné. (V grafe sú tieto dve rovnice rovnakou čiarou.)
Metóda 3 z 3: Nakreslite graf rovníc
Krok 1. Túto metódu vykonajte iba podľa pokynov
Pokiaľ nepoužívate počítač alebo grafickú kalkulačku, táto metóda môže poskytnúť iba približné odpovede. Váš učiteľ alebo učebnica vám môže povedať, že pomocou tejto metódy si zvyknete kresliť rovnice ako čiary. Túto metódu je možné použiť aj na kontrolu odpovede na jednu z vyššie uvedených metód.
Hlavnou myšlienkou je, že musíte opísať dve rovnice a nájsť ich priesečník. Hodnota x a y v tomto priesečníku je odpoveďou na problém
Krok 2. Nájdite hodnoty y oboch rovníc
Nekombinujte tieto dve rovnice a zmeňte každú rovnicu tak, aby bol formát „y = _x + _“. Ako príklad:
- Vaša prvá rovnica je 2x + y = 5. Zmeniť na y = -2x + 5.
- Vaša prvá rovnica je - 3x + 6y = 0. Zmeniť na 6r = 3x + 0, a zjednodušiť na y = x + 0.
- Ak sú vaše dve rovnice úplne rovnaké, celý riadok je „priesečníkom“týchto dvoch rovníc. Napíšte neobmedzené odpovede ako odpoveď.
Krok 3. Nakreslite súradnicové osi
Na milimetrový papier nakreslite zvislú čiaru „os y“a vodorovnú čiaru „os x“. Začínajúc v mieste, kde sa dve osi pretínajú (0, 0), zapíšte si číselné štítky 1, 2, 3, 4 atď. Postupne smerujte nahor na os y a ukazujte doprava na os x. Potom napíšte číselné štítky -1, -2 atď. Postupne ukazujte nadol na os y a smerujte doľava na os x.
- Ak nemáte milimetrový papier, pomocou pravítka sa ubezpečte, že medzery medzi každým číslom sú úplne rovnaké.
- Ak používate veľké čísla alebo desatinné miesta, odporúčame graf zmenšiť (napr. 10, 20, 30 alebo 0, 1, 0, 2, 0, 3 namiesto 1, 2, 3).
Krok 4. Nakreslite bod rovnice y pre každú rovnicu
Ak je rovnica vo forme y = _x + _, môžete začať kresliť graf tak, že urobíte bod, kde sa čiara rovnice pretína s osou y. Hodnota y je vždy rovnaká ako posledné číslo v rovnici.
- Pokračovaním predchádzajúceho príkladu je prvý riadok (y = -2x + 5) pretína os y na
Krok 5.. druhý riadok (y = x + 0) pretína os y na 0. (Tieto body sú do grafu zapísané ako (0, 5) a (0, 0).)
- Ak je to možné, nakreslite prvý a druhý riadok rôznofarebnými perami alebo ceruzkami.
Krok 5. Pomocou svahu pokračujte v línii
Vo formáte rovnice y = _x + _, číslo pred x označuje „úroveň sklonu“čiary. Zakaždým, keď sa x zvýši o jednu, hodnota y sa zvýši o počet úrovní sklonu. Tieto informácie použite na nájdenie bodov pre každý riadok v grafe, keď x = 1. (Do každej rovnice môžete tiež zadať x = 1 a nájsť hodnotu y.)
- Pokračovanie predchádzajúceho príkladu, riadok y = -2x + 5 má sklon - 2. V bode x = 1 sa priamka posúva dole o 2 od bodu x = 0. Nakreslite čiaru spájajúcu (0, 5) s (1, 3).
- Riadok y = x + 0 má sklon ½. Pri x = 1 sa čiara pohybuje jazdiť od bodu x = 0. Nakreslite čiaru spájajúcu (0, 0) s (1,).
- Ak majú dve čiary rovnaký sklon, títo dvaja sa nikdy nepretnú. Tento systém rovníc teda nemá odpoveď. Napíšte žiadna odpoveď ako odpoveď.
Krok 6. Pokračujte v spájaní čiar, kým sa tieto dve čiary nepretnú
Zastavte prácu a pozrite sa na svoj graf. ak sa tieto dve čiary prekrížili, pokračujte ďalším krokom. Ak nie, urobte rozhodnutie na základe polohy vašich dvoch riadkov:
- Ak sa tieto dve čiary k sebe priblížia, pokračujte v spájaní bodiek vašich pruhov.
- Ak sa tieto dve čiary od seba vzdialia, vráťte sa a spojte body v opačnom smere, pričom začnite od x = 1.
- Ak sú tieto dve čiary veľmi ďaleko od seba, skúste preskočiť a spojiť body ďalej, napríklad x = 10.
Krok 7. Nájdite odpoveď v priesečníku
Potom, čo sa dva riadky pretnú, hodnota x a y v tomto bode je odpoveďou na váš problém. Ak budete mať šťastie, odpoveď bude celé číslo. Napríklad v našom prípade sa tieto dve čiary v bode pretínajú (2, 1) tak odpoveď je x = 2 a y = 1. V niektorých systémoch rovníc je bod, kde sa priamka pretína, medzi dvoma celými číslami, a ak graf nie je veľmi presný, je ťažké určiť, kde sú hodnoty x a y v priesečníku. Ak je to povolené, môžete ako odpoveď napísať „x je medzi 1 a 2“alebo na nájdenie odpovede použiť metódu substitúcie alebo eliminácie.
Tipy
- Svoju prácu si môžete skontrolovať vložením odpovedí do pôvodnej rovnice. Ak sa ukáže, že rovnica je pravdivá (napr. 3 = 3), znamená to, že vaša odpoveď je správna.
- Pri použití eliminačnej metódy niekedy musíte rovnicu vynásobiť záporným číslom, aby sa premenné mohli navzájom anulovať.
