Keď prvýkrát nájdete kubickú rovnicu (ktorá má tvar osi) 3 + bx 2 + cx + d = 0), možno si myslíte, že problém bude ťažké vyriešiť. Ale vedzte, že riešenie kubických rovníc je v skutočnosti už stáročia! Toto riešenie, ktoré objavili talianski matematici Niccolò Tartaglia a Gerolamo Cardano v roku 1500, je jedným z prvých vzorcov známych v starovekom Grécku a Ríme. Riešenie kubických rovníc môže byť trochu náročné, ale so správnym prístupom (a dostatočnými znalosťami) sa dajú vyriešiť aj tie najťažšie kubické rovnice.
Krok
Metóda 1 z 3: Riešenie pomocou kvadratických rovníc
Krok 1. Skontrolujte, či má kubická rovnica konštantu
Ako je uvedené vyššie, tvar kubickej rovnice je ax 3 + bx 2 + cx + d = 0. b, c, a hodnota d môže byť 0 bez ovplyvnenia tvaru tejto kubickej rovnice; to v zásade znamená, že kubická rovnica nemusí vždy zahŕňať hodnotu bx 2, cx, alebo d je kubická rovnica. Ak chcete začať používať tento pomerne ľahký spôsob riešenia kubických rovníc, skontrolujte, či má kubická rovnica konštantu (alebo hodnotu d). Ak vaša rovnica nemá konštantu alebo hodnotu d, potom môžete po niekoľkých krokoch nájsť kvadratickú rovnicu a nájsť odpoveď na kubickú rovnicu.
Na druhej strane, ak má vaša rovnica konštantnú hodnotu, budete potrebovať ďalšie riešenie. Ďalšie prístupy nájdete v nižšie uvedených krokoch
Krok 2. Vypočítajte hodnotu x z kubickej rovnice
Pretože vaša rovnica nemá konštantnú hodnotu, všetky zložky v nej majú premennú x. To znamená, že túto hodnotu x je možné započítať mimo rovnice na zjednodušenie. Vykonajte tento krok a prepíšte svoju kubickú rovnicu do tvaru x (ax 2 + bx + c).
Povedzme napríklad, že pôvodná kubická rovnica je tu 3 x 3 + -2 x 2 + 14 x = 0. Vypočítaním jednej premennej x z tejto rovnice dostaneme rovnicu x (3 x 2 + -2 x + 14) = 0.
Krok 3. Na vyriešenie rovníc v zátvorkách použite kvadratické rovnice
Môžete si všimnúť, že niektoré z vašich nových rovníc, ktoré sú uzavreté v zátvorkách, sú vo forme kvadratickej rovnice (os 2 + bx + c). To znamená, že môžeme nájsť hodnotu potrebnú na to, aby sa táto rovnica rovnala nule, zapojením a, b, a c do vzorca kvadratickej rovnice ({- b +/- √ (b 2- 4 ac)}/2 a). Vykonajte tieto výpočty a nájdite dve odpovede na svoju kubickú rovnicu.
-
V našom prípade zapojte hodnoty a, b a c (3, -2 a 14) do kvadratickej rovnice nasledovne:
-
-
{- b +/- √ (b 2- 4 ac)}/2 a
- {-(-2) +/-√ ((-2)2- 4(3)(14))}/2(3)
- {2 +/-√ (4 - (12)(14))}/6
- {2 +/-√ (4 - (168)}/6
- {2 +/-√ (-164)}/6
-
-
-
Odpoveď 1:
-
- {2 + √(-164)}/6
- {2 + 12,8 i}/6
-
-
Odpoveď 2:
-
- {2 - 12,8 i}/6
-
Krok 4. Ako svoju odpoveď na kubickú rovnicu použite nuly a svoju odpoveď na svoju kvadratickú rovnicu
Kvadratické rovnice budú mať dve odpovede, zatiaľ čo kubické rovnice budú mať tri odpovede. Dve odpovede z troch už poznáte; ktoré získate z „štvorcovej“časti rovnice v zátvorkách. Ak je vašu kubickú rovnicu možné vyriešiť „faktorizáciou“takto, vaša tretia odpoveď je takmer vždy 0. Bezpečné! Práve ste vyriešili kubickú rovnicu.
Dôvodom, prečo je táto metóda účinná, je zásadný fakt, že „akékoľvek číslo vynásobené nulou sa rovná nule“. Keď zadáte svoju rovnicu do tvaru x (ax 2 + bx + c) = 0, v zásade ho len rozdelíte na dve „časti“; jedna časť je premenná x na ľavej strane a druhá časť je kvadratická rovnica v zátvorkách. Ak je jedna z týchto dvoch častí nulová, potom bude celá rovnica tiež nulová. Dve odpovede na kvadratickú rovnicu v zátvorkách, ktoré by ju vynulovali, sú teda odpoveďami na kubickú rovnicu, ako aj na samotnú 0 - čím by sa časť na ľavej strane stala tiež nulovou.
Metóda 2 z 3: Hľadanie celočíselných odpovedí pomocou zoznamu faktorov
Krok 1. Zaistite, aby mala kubická rovnica konštantnú hodnotu
Aj keď sa metódy popísané vyššie používajú pomerne ľahko, pretože na ich používanie sa nemusíte učiť novú techniku výpočtu, nie vždy vám pomôžu vyriešiť kubické rovnice. Ak má vaša kubická rovnica tvar sekera 3 + bx 2 + cx + d = 0, kde hodnota d nie je rovná nule, vyššie uvedená metóda „faktorizácie“nefunguje, takže na vyriešenie tohto problému budete musieť použiť jednu z metód v tejto časti.
Povedzme napríklad, že máme rovnicu 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x = -6. V tomto prípade, aby sme získali nulu na pravej strane rovnice, musíme pridať 6 na obe strany. Potom dostaneme novú rovnicu 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x + 6 = 0, s hodnotou d = 6, nemôžeme teda použiť metódu „faktorizácie“ako v predchádzajúcej metóde.
Krok 2. Nájdite faktory a a d
Ak chcete vyriešiť svoju kubickú rovnicu, začnite hľadaním faktora a (koeficient x 3) a d (konštantná hodnota na konci rovnice). Pamätajte si, že faktory sú čísla, ktoré je možné navzájom vynásobiť, aby sa získalo určité číslo. Pretože napríklad môžete získať 6 vynásobením 6 × 1 a 2 × 3, 1, 2, 3 a 6 sú faktory 6.
-
V príklade, ktorý používame, používame a = 2 a d = 6. Faktor 2 je 1 a 2. Kým faktor 6 je 1, 2, 3 a 6.
Riešenie kubickej rovnice Krok 7 Krok 3. Vydeľte faktor a koeficientom d
Ďalej uveďte hodnoty, ktoré získate vydelením každého faktora a každým faktorom d. Výsledkom tohto výpočtu je spravidla mnoho zlomkových hodnôt a niekoľko celých čísel. Celočíselná hodnota na vyriešenie vašej kubickej rovnice je jedným z celých čísel získaných z výpočtu.
V našej rovnici vydelíme hodnotu faktora a (1, 2) faktorom d (1, 2, 3, 6) a získame nasledujúce výsledky: 1, 1/2, 1/3, 1/6, 2, a 2/3. Potom do zoznamu pridajte záporné hodnoty a dostaneme: 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/6, -1/6, 2, -2, 2/3 a -2/3. Odpoveď na kubickú rovnicu - čo je celé číslo - je v zozname.
Vyriešte kubickú rovnicu, krok 8 Krok 4. Použitím syntetického delenia manuálne skontrolujte svoje odpovede
Keď máte zoznam hodnôt, ako je ten vyššie, môžete vyhľadať celočíselné hodnoty, ktoré sú odpoveďou na vašu kubickú rovnicu, zadaním každého celého čísla ručne a zistiť, ktorá hodnota vracia nulu. Ak však tomu nechcete venovať čas, existuje spôsob, ako to urobiť rýchlejšie, a to pomocou výpočtu, ktorý sa nazýva syntetické delenie. V zásade by ste celočíselnú hodnotu rozdelili na pôvodné koeficienty a, b, c a d vo vašej kubickej rovnici. Ak je zvyšok nula, potom je táto hodnota jednou z odpovedí na vašu kubickú rovnicu.
-
Syntetické delenie je komplexná téma - ďalšie informácie nájdete v nižšie uvedenom odkaze. Tu je príklad, ako nájsť jednu z odpovedí na kubickú rovnicu so syntetickým delením:
-
- -1 | 2 9 13 6
- _| -2-7-6
- _| 2 7 6 0
- Keďže dostaneme konečný výsledok rovný 0, vieme, že jedna z celočíselných odpovedí na našu kubickú rovnicu je - 1.
-
Metóda 3 z 3: Použitie diskriminačného prístupu
Vyriešte kubickú rovnicu, krok 9 Krok 1. Napíšte rovnice a, b, c a d
Aby sme našli odpoveď na kubickú rovnicu týmto spôsobom, urobíme veľa výpočtov s koeficientmi v našej rovnici. Z tohto dôvodu je vhodné poznačiť si hodnoty a, b, c a d skôr, ako na akékoľvek hodnoty zabudnete.
Napríklad pre rovnicu x 3 - 3 x 2 + 3 x -1, napíšte to ako a = 1, b = -3, c = 3 a d = -1. Nezabudnite, že keď premenná x nemá koeficient, jej hodnota je 1.
Vyriešte kubickú rovnicu, krok 10 Krok 2. Vypočítajte 0 = b 2 - 3 klimatizačné zariadenia.
Diskriminačný prístup k hľadaniu odpovedí na kubické rovnice vyžaduje zložité výpočty, ale ak budete postupovať podľa uvedených krokov opatrne, môže to byť veľmi užitočné pri riešení kubických rovníc, ktoré je ťažké vyriešiť iným spôsobom. Na začiatku nájdite hodnotu 0, ktorá je prvou významnou hodnotou z niekoľkých, ktoré potrebujeme, a vložte príslušnú hodnotu do vzorca b 2 - 3 klimatizačné zariadenia.
-
V príklade, ktorý používame, to vyriešime nasledovne:
-
- b 2 - 3 ac
- (-3)2 - 3(1)(3)
- 9 - 3(1)(3)
- 9 - 9 = 0 = 0
-
Riešenie kubickej rovnice, krok 11 Krok 3. Vypočítajte 1 = 2 b 3 - 9 abc + 27 a 2 d.
Ďalšia významná hodnota, ktorú potrebujeme, 1, vyžaduje dlhší výpočet, ale dá sa nájsť rovnakým spôsobom ako 0. Zapojte príslušnú hodnotu do vzorca 2 b 3 - 9 abc + 27 a 2 d získať hodnotu 1.
-
V tomto prípade to riešime nasledovne:
-
- 2(-3)3 - 9(1)(-3)(3) + 27(1)2(-1)
- 2(-27) - 9(-9) + 27(-1)
- -54 + 81 - 27
- 81 - 81 = 0 = 1
-
Vyriešte kubickú rovnicu, krok 12 Krok 4. Vypočítajte = 12 - 4Δ03) -27 a 2.
Ďalej vypočítame „diskriminačnú“hodnotu hodnôt 0 a 1. Diskriminant je číslo, ktoré vám poskytne informácie o koreni polynómu (možno ste si nevedomky zapamätali kvadratický diskriminačný vzorec: b 2 - 4 klimatizačné zariadenia). V prípade kubickej rovnice, ak je hodnota diskriminátora kladná, potom má rovnica tri odpovede na skutočné čísla. Ak je diskriminačná hodnota rovná nule, potom má rovnica jednu alebo dve odpovede na skutočné čísla a niektoré odpovede majú rovnakú hodnotu. Ak je hodnota záporná, potom má rovnica iba jednu odpoveď na skutočné číslo, pretože graf rovnice vždy najmenej raz pretína os x).
-
V tomto prípade, pretože 0 aj 1 = 0, nájdenie hodnoty je veľmi jednoduché. Musíme to vypočítať nasledovne:
-
- 12 - 4Δ03) -27 a 2
- (0)2 - 4(0)3) ÷ -27(1)2
- 0 - 0 ÷ 27
- 0 =, takže naša rovnica má 1 alebo 2 odpovede.
-
Vyriešte kubickú rovnicu, krok 13 Krok 5. Vypočítajte C = 3(√ ((Δ12 - 4Δ03) + 1)/ 2).
Posledná hodnota, ktorú je pre nás dôležité získať, je hodnota C. Táto hodnota nám umožňuje získať všetky tri korene našej kubickej rovnice. Riešite ako obvykle, do vzorca vložte hodnoty 1 a 0.
-
V tomto prípade dostaneme hodnotu C podľa:
-
- 3(√ ((Δ12 - 4Δ03) + 1)/ 2)
- 3√(√((02 - 4(0)3) + (0))/ 2)
- 3√(√((0 - 0) + (0))/ 2)
- 0 = C.
-
Vyriešte kubickú rovnicu, krok 14 Krok 6. Vypočítajte pomocou premennej tri korene rovnice
Koreň (odpoveď) vašej kubickej rovnice je určený vzorcom (b + u C + (Δ0/u C)) / 3 a, kde u = (-1 + (-3))/2 a n sa rovná 1, 2 alebo 3. Pripojte svoje hodnoty do vzorca, aby ste ich vyriešili-môže existovať niekoľko výpočtov, ktoré musíte urobiť, ale mali by ste dostať všetky tri odpovede na kubické rovnice!
- V tomto prípade to môžeme vyriešiť tak, že skontrolujeme odpovede, keď n sa rovná 1, 2 a 3. Odpoveď, ktorú dostaneme z tohto výpočtu, je možnou odpoveďou na našu kubickú rovnicu - akúkoľvek hodnotu, ktorú vložíme do kubickej rovnice a tá poskytne rovnaký výsledok. s 0 je správna odpoveď. Ak napríklad v jednom z našich výpočtových experimentov dostaneme odpoveď rovnú 1, vložíme hodnotu 1 do rovnice x 3 - 3 x 2 + 3 x - 1 poskytne konečný výsledok rovný 0. Teda
Krok 1. je jednou z odpovedí na našu kubickú rovnicu.
-
