Determinant matíc sa často používa v počte, lineárnej algebre a geometrii na vyššej úrovni. Mimo akademickej obce používajú inžinieri a programátori počítačovej grafiky matice a ich determinanty neustále. Ak už viete, ako určiť determinant matice rádu 2x2, stačí sa naučiť, kedy použiť sčítanie, odčítanie a časy na určenie determinantu matice rádu 3x3.
Krok
Časť 1 z 2: Stanovenie determinantov
Napíšte maticu poradia 3 x 3. Začneme maticou A rádu 3x3 a pokúsime sa nájsť determinant | A |. Nasleduje všeobecná forma maticového zápisu, ktorý použijeme, a príklad našej matice:
| a11 | a12 | a13 | 1 | 5 | 3 | |||
| M | = | a21 | a22 | a23 | = | 2 | 4 | 7 |
| a31 | a32 | a33 | 4 | 6 | 2 |
Krok 1. Vyberte riadok alebo stĺpec
Vyberte svoj referenčný riadok alebo stĺpec. Nech si vyberiete čokoľvek, stále dostanete rovnakú odpoveď. Dočasne vyberte prvý riadok. V nasledujúcej časti vám poskytneme niekoľko návrhov na výber najľahšie vypočítateľnej možnosti.
Vyberte prvý riadok vzorovej matice A. Zakrúžkujte číslo 1 5 3. V bežnom zápise zakrúžkujte a11 a12 a13.
Krok 2. Škrtnite riadok a stĺpec prvého prvku
Pozrite sa na riadok alebo stĺpec, ktorý ste zakrúžkovali, a vyberte prvý prvok. Preškrtnite riadky a stĺpce. Zostanú iba 4 čísla nedotknuté. Vytvorte z týchto 4 čísel maticu poradia 2 x 2.
- V našom prípade je náš referenčný riadok 1 5 3. Prvý prvok je v 1. rade a 1. stĺpci. Preškrtnite celý 1. riadok a 1. stĺpček. Zostávajúce prvky napíšte do matice 2 x 2:
- 1 5 3
- 2 4 7
- 4 6 2
Krok 3. Určte determinant matice 2 x 2 poriadku
Nezabudnite, určujte determinant matice [ac bd] od reklama - bc. Tiež ste sa mohli naučiť určovať determinant matice nakreslením X medzi maticu 2 x 2. Vynásobte dve čísla spojené čiarou / x. Potom odpočítajte, koľkokrát sú dve čísla spojené čiarou / sú. Tento vzorec použite na výpočet determinantu matice 2 x 2.
- V tomto prípade je determinant matice [46 72] = 4*2 - 7*6 = - 34.
- Tento determinant sa nazýva vedľajšia prvkov, ktoré ste vybrali v počiatočnej matici. V tomto prípade sme práve našli maloletú a11.
Krok 4. Vynásobte číslo nájdené prvkom, ktorý ste vybrali
Nezabudnite, že ste vybrali prvky z referenčného riadka (alebo stĺpca), keď ste sa rozhodli, ktoré riadky a stĺpce sa majú prečiarknuť. Tento prvok vynásobte determinantom matice 2 x 2, ktorú ste našli.
V príklade zvolíme a11 čo je 1. Vynásobte toto číslo -34 (determinant matice 2 x 2), aby ste dostali 1*-34 = - 34.
Krok 5. Určte symbol svojej odpovede
Ďalším krokom je, že svoju odpoveď musíte vynásobiť 1 alebo -1 kofaktor prvku, ktorý ste vybrali. Použitý symbol závisí od toho, kde sa prvky nachádzajú v matici 3 x 3. Nezabudnite, že táto tabuľka symbolov sa používa na určenie multiplikátora vášho prvku:
- + - +
- - + -
- + - +
- Pretože si vyberáme a11 ktorý je označený a +, číslo vynásobíme +1 (alebo inými slovami, nemeňte ho). Odpoveď, ktorá sa objaví, bude rovnaká, konkrétne - 34.
- Ďalším spôsobom, ako definovať symbol, je použiť vzorec (-1) i+j kde i a j sú riadkové a stĺpcové prvky.
Krok 6. Tento postup zopakujte pre druhý prvok vo vašom referenčnom riadku alebo stĺpci
Vráťte sa k pôvodnej matici 3 x 3, v ktorej ste predtým zakrúžkovali riadok alebo stĺpček. Opakujte rovnaký postup s prvkom:
-
Prečiarknite riadok a stĺpec prvku.
V takom prípade vyberte prvok a12 (čo stojí za 5). Preškrtnite 1. riadok (1 5 3) a 2. stĺpček (5 4 6).
-
Premeňte zostávajúce prvky na maticu 2x2.
V našom prípade je matica poradia 2x2 pre druhý prvok [24 72].
-
Určte determinant tejto matice 2x2.
Použite vzorec ad - bc. (2*2 - 7*4 = -24)
-
Vynásobte prvkami vami zvolenej matice 3x3.
-24 * 5 = -120
-
Rozhodnite sa, či vyššie uvedený výsledok vynásobíte -1 alebo nie.
Použite tabuľku symbolov alebo vzorcov (-1)ij. Vyberte prvok a12 symbolizované - v tabuľke symbolov. Nahraďte náš symbol odpovede týmto: (-1)*(-120) = 120.
Krok 7. Rovnaký postup zopakujte aj pre tretí prvok
Na určenie determinantu máte ešte jeden kofaktor. Počítajte i pre tretí prvok vo vašom referenčnom riadku alebo stĺpci. Tu je rýchly spôsob výpočtu kofaktora a13 v našom prípade:
- Preškrtnutím 1. riadka a 3. stĺpca získate [24 46].
- Determinant je 2*6 - 4*4 = -4.
- Vynásobte prvkom a13: -4 * 3 = -12.
- Prvok a13 symbol + v tabuľke symbolov, takže odpoveď je - 12.
Krok 8. Sčítajte výsledky svojich troch počítaní
Toto je posledný krok. Vypočítali ste tri kofaktory, jeden pre každý prvok v riadku alebo stĺpci. Sčítajte tieto výsledky a nájdete determinant matice 3 x 3.
V tomto prípade je determinant matice - 34 + 120 + - 12 = 74.
Časť 2 z 2: Uľahčenie riešenia problémov
Krok 1. Vyberte riadok alebo stĺpec odkazov, ktoré majú najviac 0 s
Nezabudnite, že môžete vybrať ľubovoľný požadovaný riadok alebo stĺpec. Nech si vyberiete čokoľvek, odpoveď bude rovnaká. Ak vyberiete riadok alebo stĺpec s číslom 0, stačí vypočítať kofaktor s prvkami, ktoré nie sú 0, pretože:
- Vyberte napríklad 2. riadok, ktorý obsahuje prvok a21, a22, fond23. Na vyriešenie tohto problému použijeme 3 rôzne matice 2 x 2, povedzme A21, A.22, Ty23.
- Determinant matice 3x3 je a21| A.21| - a22| A.22| + a23| A.23|.
- Ak22 fond23 hodnota 0, existujúci vzorec bude a21| A.21| - 0*| A.22| + 0*| A.23| = a21| A.21| - 0 + 0 = a21| A.21|. Preto budeme počítať iba kofaktor iba jedného prvku.
Krok 2. Na uľahčenie problémov s maticou použite ďalšie riadky
Ak vezmete hodnoty z jedného riadka a pridáte ich do iného riadka, determinant matice sa nezmení. To isté platí pre stĺpce. Môžete to urobiť opakovane alebo vynásobiť konštantou pred pridaním, aby ste získali čo najviac 0 v matici. To môže ušetriť veľa času.
- Máte napríklad maticu s 3 riadkami: [9 -1 2] [3 1 0] [7 5 -2]
- Ak chcete odstrániť číslo 9, ktoré je v polohe a11, môžete hodnotu v 2. riadku vynásobiť -3 a výsledok pridať do prvého riadka. Teraz je nový prvý riadok [9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2].
- Nová matica má riadky [0 -4 2] [3 1 0] [7 5 -2]. Rovnaký trik použite na stĺpce na vytvorenie a12 byť číslo 0.
Krok 3. Na trojuholníkové matice použite rýchlu metódu
V tomto špeciálnom prípade je determinant súčinom prvkov na hlavnej uhlopriečke a11 vľavo hore na a33 v pravom dolnom rohu matice. Táto matica je stále matica 3x3, ale matica „trojuholníka“má špeciálny vzor čísel, ktoré nie sú 0:
- Horná trojuholníková matica: Všetky prvky, ktoré nie sú 0, sú na hlavnej diagonále alebo nad ňou. Všetky čísla pod hlavnou uhlopriečkou sú 0.
- Dolná trojuholníková matica: Všetky prvky, ktoré nie sú 0, sa nachádzajú na alebo pod hlavnou uhlopriečkou.
- Diagonálna matica: Všetky prvky, ktoré nie sú 0, sú na hlavnej uhlopriečke (podmnožina vyššie uvedených typov matíc).
Tipy
- Ak sú všetky prvky v riadku alebo stĺpci 0, determinant matice je 0.
- Túto metódu je možné použiť pre všetky veľkosti kvadratických matíc. Ak napríklad použijete túto metódu pre maticu poradia 4x4, váš „úder“zanechá maticu rádu 3x3, ktorej determinant možno určiť podľa vyššie uvedených krokov. Pamätajte si, že robiť to môže byť nudné!
