Deriváty je možné použiť na odvodenie užitočných charakteristík z grafu, ako sú maximálne, minimálne, špičkové, dolné a svahové hodnoty. Môžete ho dokonca použiť aj na vykreslenie zložitých rovníc bez grafickej kalkulačky! Práca na derivátoch je bohužiaľ často únavná, ale tento článok vám pomôže s niekoľkými tipmi a trikami.
Krok
Krok 1. Pochopte odvodený zápis
Nasledujúce dva zápisy sú najčastejšie používané, aj keď mnohé ďalšie nájdete tu na Wikipédii.
- Leibnizova notácia Táto notácia je najbežnejšie používanou notáciou, keď rovnica obsahuje y a x. dy/dx doslova znamená deriváciu y vzhľadom na x. Mohlo by byť užitočné uvažovať o tom ako y/Δx pre veľmi odlišné hodnoty x a y. Toto vysvetlenie vedie k definícii derivačného limitu: limh-> 0 (f (x+h) -f (x))/h. Pri použití tohto zápisu pre druhú deriváciu by ste mali napísať: d2r/dx2.
- Lagrangeova notácia Derivát funkcie f je tiež zapísaný ako f '(x). Tento zápis znie s prízvukom x. Tento zápis je kratší ako Leibnizov zápis a je nápomocný pri prezeraní derivátov ako funkcií. Na vytvorenie väčšieho stupňa derivácie stačí pridať „k f“, takže druhá derivácia bude f „“(x).
Krok 2. Pochopte význam derivátu a dôvody zostupu
Najprv, aby sa našiel sklon lineárneho grafu, urobia sa dva body na priamke a ich súradnice sa zadajú do rovnice (y2 - r1)/(X2 - X1). Dá sa však použiť iba pre lineárne grafy. Pre kvadratické rovnice a vyššie bude čiara krivkou, takže nájsť rozdiel medzi dvoma bodmi nie je veľmi presné. Na nájdenie sklonu dotyčnice v krivkovom grafe sa vezmú dva body a vložia sa do všeobecnej rovnice, aby sa našiel sklon krivkového grafu: [f (x + dx) - f (x)]/dx. Dx označuje delta x, čo je rozdiel medzi dvoma súradnicami x v dvoch bodoch grafu. Všimnite si, že táto rovnica je rovnaká ako (r2 - r1)/(X2 - X1), len v inej forme. Pretože bolo známe, že výsledky budú nepresné, bol použitý nepriamy prístup. Aby sa našiel sklon dotyčnice na (x, f (x)), dx musí byť blízko 0, aby sa dva nakreslené body zlúčili do jedného bodu. Nemôžete však deliť 0, takže akonáhle zadáte dvojbodové hodnoty, budete musieť použiť faktoring a ďalšie metódy na odstránenie dx zo spodnej časti rovnice. Keď to urobíte, urobte dx 0 a máte hotovo. Toto je sklon dotyčnice (x, f (x)). Derivácia rovnice je všeobecná rovnica na nájdenie sklonu ľubovoľnej dotyčnice v grafe. Môže sa to zdať veľmi komplikované, ale nižšie je niekoľko príkladov, ktoré pomôžu vysvetliť, ako získať derivát.
Metóda 1 zo 4: Explicitné deriváty
Krok 1. Ak už vaša rovnica na jednej strane obsahuje y, použite explicitnú deriváciu
Krok 2. Pripojte rovnicu k rovnici [f (x + dx) - f (x)]/dx
Ak je rovnica napríklad y = x2, derivát bude [(x + dx)2 - X2]/dx.
Krok 3. Rozbalením a odstránením dx vytvorte rovnicu [dx (2x + dx)]/dx
Teraz môžete vrhnúť dva dx hore a dole. Výsledok je 2x + dx a keď sa dx blíži k nule, derivácia je 2x. To znamená, že sklon akejkoľvek dotyčnice grafu y = x2 je 2x. Stačí zadať hodnotu x pre bod, pre ktorý chcete nájsť sklon.
Krok 4. Naučte sa vzorce na odvodenie podobných rovníc
Tu je niekoľko príkladov.
- Akýkoľvek exponent je mocnina krát hodnota zvýšená na mocninu menšiu ako 1. Napríklad derivácia x5 je 5x4, a derivácia x3, 5 je 3, 5x2, 5. Ak už pred x je číslo, stačí ho vynásobiť mocninou. Napríklad derivácia 3x4 je 12x3.
- Derivát akejkoľvek konštanty je nula. Derivát 8 je teda 0.
- Derivát súčtu je súčtom príslušných derivátov. Napríklad derivácia x3 + 3x2 je 3x2 + 6x.
- Derivát produktu je prvý faktor krát derivát druhého faktora plus druhý faktor krát derivácia prvého faktora. Napríklad derivácia x3(2x + 1) je x3(2) + (2x + 1) 3x2, čo sa rovná 8x3 + 3x2.
- Derivát kvocientu (povedzme f/g) je [g (derivát f) - f (derivát g)]/g2. Napríklad derivát (x2 + 2x - 21)/(x - 3) je (x2 - 6x + 15)/(x - 3)2.
Metóda 2 zo 4: Implicitné deriváty
Krok 1. Ak vašu rovnicu už nemožno napísať s y na jednej strane, použite implicitné deriváty
V skutočnosti, ak by si na jednu stranu napísal y, výpočet dy/dx by bol únavný. Tu je príklad toho, ako môžete vyriešiť tento typ rovnice.
Krok 2. V tomto prípade x2r + 2 r3 = 3x + 2r, nahraďte y f (x), takže si budete pamätať, že y je v skutočnosti funkcia.
Rovnica sa potom stane x2f (x) + 2 [f (x)]3 = 3x + 2f (x).
Krok 3. Ak chcete nájsť deriváciu tejto rovnice, odvodte obe strany rovnice vzhľadom na x
Rovnica sa potom stane x2f '(x) + 2xf (x) + 6 [f (x)]2f '(x) = 3 + 2f' (x).
Krok 4. Nahraďte f (x) znova y
Dávajte pozor, aby ste nenahradili f '(x), ktoré sa líši od f (x).
Krok 5. Nájdite f '(x)
Odpoveď pre tento príklad bude (3 - 2xy)/(x2 + 6r2 - 2).
Metóda 3 zo 4: Deriváty vyššieho rádu
Krok 1. Odvodenie funkcie vyššieho rádu znamená, že odvodíte deriváciu (na poradie 2)
Ak vás napríklad problém požiada o odvodenie tretieho rádu, vezmite jednoducho deriváciu derivátu derivátu. V prípade niektorých rovníc bude derivácia vyššieho rádu 0.
Metóda 4 zo 4: Reťazové pravidlo
Krok 1. Ak y je diferenciálna funkcia z a z je diferenciálna funkcia x, y je zložená funkcia x a derivácia y vzhľadom na x (dy/dx) je (dy/du)* (du/dx)
Reťazcové pravidlo môže byť tiež kombináciou mocenských rovníc, ako je táto: (2x4 - X)3. Ak chcete nájsť derivát, premýšľajte o tom ako o pravidle násobenia. Vynásobte rovnicu silou a znížte o 1 na mocninu. Potom rovnicu vynásobte deriváciou rovnice v zátvorkách, ktorá zvyšuje mocninu (v tomto prípade 2x^4 - x). Odpoveď na túto otázku je 3 (2x4 - X)2(8x3 - 1).
Tipy
- Kedykoľvek uvidíte ťažko vyriešiteľný problém, nebojte sa. Skúste to rozdeliť na čo najviac menších častí pomocou pravidiel násobenia, kvocientu atď. Potom spustite každú časť.
- Cvičte s pravidlom násobenia, kvocientovým pravidlom, reťazovým pravidlom a obzvlášť s implicitnými derivátmi, pretože tieto pravidlá sú v počte oveľa ťažšie.
- Porozumejte svojej kalkulačke dobre; vyskúšajte si rôzne funkcie vo svojej kalkulačke a naučte sa ich používať. Je veľmi užitočné vedieť, ako používať tangenty a derivačné funkcie vo vašej kalkulačke, ak sú k dispozícii.
- Zapamätajte si základné trigonometrické deriváty a spôsob ich použitia.
