Ako odvodiť implicitné funkcie: 7 krokov (s obrázkami)

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Naposledy zmenené: 2024-01-19 22:14

V počte, keď máte rovnicu pre y zapísanú v tvare x (napr. Y = x² -3x), na nájdenie derivátu je ľahké použiť základné derivačné techniky (ktoré matematici označujú ako derivačné techniky implicitnej funkcie). Pri rovniciach, ktoré je ťažké zostaviť, iba na jednej strane znamienka rovnosti (napr. X² + y² - 5x + 8r + 2xy² = 19), je potrebný iný prístup. Pomocou techniky nazývanej deriváty implicitných funkcií je ľahké nájsť deriváty rovníc s rôznymi premennými, pokiaľ poznáte základy derivátov explicitnej funkcie!

Krok

Metóda 1 z 2: Rýchle odvodenie jednoduchých rovníc

Krok 1. Odvodte x výrazov ako obvykle

Pri pokuse o odvodenie viac premennej rovnice ako x² + y² - 5x + 8r + 2xy² = 19, môže byť ťažké vedieť, kde začať. Našťastie prvý krok derivácie implicitnej funkcie je najľahší. Na začiatku stačí odvodiť termíny x a konštanty na oboch stranách rovnice podľa pravidiel bežných (explicitných) derivácií. Podmienky y nateraz ignorujte.

• Pokúsme sa odvodiť príklad jednoduchej rovnice vyššie. X² + y² - 5x + 8r + 2xy² = 19 má dva výrazy x: x² a -5x. Ak chceme odvodiť rovnicu, musíme to urobiť najskôr takto:

  X² + y² - 5x + 8r + 2xy² = 19

  (Znížte výkon na 2 v x² ako koeficient odstráňte x -5x a zmeňte 19 na 0)

  2x + r² - 5 + 8r + 2xy² = 0

Krok 2. Odvodte výrazy y a pridajte (dy/dx) vedľa každého výrazu

V nasledujúcom kroku odvodite výrazy y rovnakým spôsobom, akým ste odvodili výrazy x. Tentoraz však pridajte (dy/dx) vedľa každého výrazu tak, ako by ste pridali koeficienty. Ak napríklad znížite y², potom sa derivát stane 2y (dy/dx). Ignorujte výrazy, ktoré majú xay zatiaľ.

• V našom prípade naša rovnica teraz vyzerá takto: 2x + y² - 5 + 8r + 2xy² = 0. Ďalší krok odvodenia y vykonáme nasledovne:

  2x + r² - 5 + 8r + 2xy² = 0

  (Znížte na 2 v y² ako koeficienty odstráňte y za 8 rokov a vedľa každého výrazu vložte dy/dx).

  2x + 2r (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2xy²= 0

Krok 3. Použite pravidlo produktu alebo pravidlo kvocientu pre výrazy s xay

Práca s výrazmi, ktoré majú x a y, je trochu komplikovaná, ale ak poznáte pravidlá pre produkt a kvocient pre deriváty, budete to mať jednoduché. Ak sa výrazy x a y vynásobia, použite pravidlo produktu ((f × g) '= f' × g + g × f ') nahradením výrazu x za f a y za g. Na druhej strane, ak sa výrazy x a y navzájom vylučujú, použite pravidlo kvocientu ((f/g) '= (g × f' - g '× f)/g²) nahradením čitateľa za f a menovateľa za g.

• V našom prípade 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2xy² = 0, máme iba jeden výraz, ktorý má xay - 2xy². Pretože x a y sa navzájom vynásobia, použijeme súčinové pravidlo na odvodenie nasledovne:

  2xy² = (2x) (r²)- nastavte 2x = f a y² = g v (f × g) '= f' × g + g × f '

  (f × g) '= (2x)' × (r²) + (2x) × (r²)'

  (f × g) '= (2) × (r²) + (2x) × (2r (dy/dx))

  (f × g) '= 2r² + 4xy (dy/dx)

• Keď to pripočítame k našej hlavnej rovnici, dostaneme 2x + 2r (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2r² + 4xy (dy/dx) = 0

Krok 4. Sám (dy/dx)

Si takmer hotový! Teraz stačí vyriešiť rovnicu (dy/dx). Zdá sa to ťažké, ale zvyčajne to tak nie je - nezabúdajte, že akékoľvek dva výrazy a a b sú vynásobené (dy/dx) možno písať ako (a + b) (dy/dx) kvôli distribučnej vlastnosti násobenia. Táto taktika môže uľahčiť izoláciu (dy/dx) - stačí presunúť všetky ostatné výrazy na druhú stranu zátvoriek a potom ich rozdeliť podľa výrazov v zátvorkách vedľa (dy/dx).

• V našom prípade zjednodušujeme 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y² + 4xy (dy/dx) = 0 nasledovne:

  2x + 2r (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2r² + 4xy (dy/dx) = 0

  (2r + 8 + 4xy) (dy/dx) + 2x - 5 + 2r² = 0

  (2r + 8 + 4xy) (dy/dx) = -2r² - 2x + 5

  (dy/dx) = (-2r² - 2x + 5)/(2r + 8 + 4xy)

  (dy/dx) = (-2r² - 2x + 5)/(2 (2xy + y + 4)

Metóda 2 z 2: Použitie pokročilých techník

Krok 1. Zadajte hodnotu (x, y), aby ste našli (dy/dx) pre ľubovoľný bod

V bezpečí! Svoju rovnicu ste už odvodili implicitne - nie je to jednoduchá práca na prvý pokus! Použitie tejto rovnice na nájdenie gradientu (dy/dx) pre akýkoľvek bod (x, y) je také jednoduché, ako vloženie hodnôt x a y pre váš bod na pravú stranu rovnice a potom nájdenie (dy/dx).

• Predpokladajme napríklad, že chceme nájsť gradient v bode (3, -4) pre našu vzorovú rovnicu vyššie. Aby sme to urobili, nahradíme 3 za x a -4 za y, pričom vyriešime nasledovne:

  (dy/dx) = (-2r² - 2x + 5)/(2 (2xy + y + 4)

  (dy/dx) = (-2 (-4)² - 2(3) + 5)/(2(2(3)(-4) + (-4) + 4)

  (dy/dx) = (-2 (16)-6 + 5)/(2 (2 (3) (-4))

  (dy/dx) = (-32)-6 + 5)/(2 (2 (-12))

  (dy/dx) = (-33)/(2 (2 (-12))

  (dy/dx) = (-33)/(-48) = 3/48, alebo 0, 6875.

Krok 2. Použite reťazcové pravidlo pre funkcie v rámci funkcií

Reťazcové pravidlo je dôležitou znalosťou, ktorú je potrebné zvládnuť pri práci s problémami počtu (vrátane problémov s derivačnými funkciami implicitnej funkcie). Reťazcové pravidlo uvádza, že pre funkciu F (x), ktorú je možné zapísať ako (f o g) (x), derivát F (x) sa rovná f '(g (x)) g' (x). Pri ťažkých problémoch s deriváciou implicitných funkcií to znamená, že je možné odvodiť rôzne jednotlivé časti rovnice a potom kombinovať výsledky.

• Ako jednoduchý príklad predpokladajme, že musíme nájsť deriváciu hriechu (3x² + x) ako súčasť väčšieho problému s deriváciou implicitnej funkcie pre rovnicu sin (3x² + x) + y³ = 0. Ak si predstavíme hriech (3x² + x) ako f (x) a 3x² + x ako g (x), deriváciu nájdeme nasledovne:

  f '(g (x)) g' (x)

  (hriech (3x² + x)) '× (3x² +x) '

  cos (3x² + x) × (6x + 1)

  (6x + 1) cos (3x² +x)

Krok 3. Pre rovnice s premennými x, y a z nájdite (dz/dx) a (dz/dy)

Napriek tomu, že niektoré pokročilé aplikácie sú v základnom počte neobvyklé, môžu vyžadovať odvodenie implicitných funkcií z viac ako dvoch premenných. Pre každú ďalšiu premennú musíte nájsť jej dodatočnú deriváciu vzhľadom na x. Ak máte napríklad x, y a z, mali by ste vyhľadať obidva (dz/dy) a (dz/dx). Môžeme to urobiť tak, že dvakrát odvodíme rovnicu vzhľadom na x - najskôr zadáme (dz/dx) vždy, keď odvodíme výraz obsahujúci z, a za druhé, vložíme (dz/dy) vždy, keď odvodíme z. Potom už ide len o riešenie (dz/dx) a (dz/dy).

• Povedzme napríklad, že sa pokúšame odvodiť x³z² - 5xy⁵z = x² + y³.

• Najprv odvodíme od x a zadáme (dz/dx). V prípade potreby nezabudnite použiť pravidlo produktu!

  X³z² - 5xy⁵z = x² + y³

  3x²z² + 2x³z (dz/dx) - 5r⁵z - 5xy⁵(dz/dx) = 2x

  3x²z² + (2x³z - 5xy⁵) (dz/dx) - 5r⁵z = 2x

  (2x³z - 5xy⁵) (dz/dx) = 2x - 3x²z² + 5r⁵z

  (dz/dx) = (2x - 3x²z² + 5r⁵z)/(2x³z - 5xy⁵)

• Teraz urobte to isté pre (dz/dy)

  X³z² - 5xy⁵z = x² + y³

  2x³z (dz/dy) - 25xy⁴z - 5xy⁵(dz/dy) = 3 r²

  (2x³z - 5xy⁵) (dz/dy) = 3 r² + 25x⁴z

  (dz/dy) = (3r² + 25x⁴z)/(2x³z - 5xy⁵)