Od študentov matematiky sa často požaduje, aby svoje odpovede zapísali v ich najjednoduchšej forme - inými slovami, aby odpovede zapísali čo najelegantnejšie. Aj keď sú rovnice dlhé, tuhé a krátke, ako aj elegantné, technicky rovnaká vec, matematický problém sa často nepovažuje za úplný, ak konečnú odpoveď nezredukujeme na najjednoduchšiu formu. Tiež odpoveď v najjednoduchšej forme je takmer vždy najľahšia rovnica, s ktorou sa pracuje. Z tohto dôvodu je učenie sa zjednodušovať rovnice dôležitou zručnosťou matematikov.
Krok
Metóda 1 z 2: Použitie postupnosti operácií
Krok 1. Poznáte poradie operácií
Pri zjednodušovaní matematických výrazov nemôžete pracovať len zľava doprava, násobiť, sčítať, odčítať a podobne v poradí zľava doprava. Niektoré matematické operácie musia mať prednosť pred ostatnými a musia sa vykonať ako prvé. V skutočnosti môže použitie nesprávneho poradia operácií poskytnúť nesprávnu odpoveď. Poradie operácií je: časť v zátvorkách, exponent, násobenie, delenie, sčítanie a nakoniec odčítanie. Skratka, ktorú si môžete zapamätať, je Pretože matka nie je dobrá, zlá a chudobná.
Všimnite si toho, že zatiaľ čo základné znalosti o poradí operácií môžu zjednodušiť najzákladnejšie rovnice, na zjednodušenie mnohých variabilných rovníc, vrátane takmer všetkých polynómov, sú potrebné špeciálne techniky. Ďalšie informácie nájdete v nasledujúcej druhej metóde
Krok 2. Začnite vyplnením všetkých sekcií v zátvorkách
V matematike zátvorky naznačujú, že vnútorná časť sa musí vypočítať oddelene od výrazu, ktorý je mimo zátvoriek. Bez ohľadu na to, aké operácie sú v zátvorkách, pri pokuse o zjednodušenie rovnice najskôr vyplňte časť v zátvorkách. Napríklad v zátvorkách musíte pred sčítaním, odčítaním a podobne vynásobiť.
-
Skúsme si napríklad zjednodušiť rovnicu 2x + 4 (5 + 2) + 32 - (3 + 4/2). V tejto rovnici musíme najskôr vyriešiť časť v zátvorkách, konkrétne 5 + 2 a 3 + 4/2. 5 + 2 =
Krok 7.. 3 + 4/2 = 3 + 2
Krok 5
Časť v druhej zátvorke je zjednodušená na 5, pretože podľa poradia operácií v zátvorkách delíme najskôr 4/2. Ak pracujeme len zľava doprava, najskôr sčítame 3 a 4, potom vydelíme 2 a dáme nesprávnu odpoveď 7/2
- Poznámka - ak je v zátvorkách viac zátvoriek, vyplňte časť v najvnútornejšej zátvorke, potom v druhej najvnútornejšej časti atď.
Krok 3. Vyriešte exponent
Po vyplnení zátvoriek vyriešte exponent svojej rovnice. Je ľahké si to zapamätať, pretože v exponentoch sú základné číslo a výkonová sila vedľa seba. Nájdite odpoveď na každú časť exponentu a potom zapojte svoju odpoveď do rovnice, ktorou nahradíte exponentnú časť.
Po dokončení časti v zátvorkách sa naša vzorová rovnica stane 2x + 4 (7) + 32 - 5. Jediný exponenciál v našom prípade je 32, čo sa rovná 9. Pridajte tento výsledok do svojej rovnice a nahraďte 32 čo má za následok 2x + 4 (7) + 9 - 5.
Krok 4. Vyriešte problém násobenia vo svojej rovnici
Ďalej urobte vo svojej rovnici akékoľvek násobenie. Pamätajte si, že násobenie môže byť napísané niekoľkými spôsobmi. Symbol × bodka alebo hviezdička je spôsob, ako ukázať násobenie. Číslo vedľa zátvorky alebo premenná (napríklad 4 (x)) však tiež predstavuje násobenie.
-
V našom probléme sú znásobené dve časti: 2x (2x je 2 × x) a 4 (7). Hodnotu x nepoznáme, takže ju ponecháme na 2x. 4 (7) = 4 × 7 =
Krok 28.. Rovnicu môžeme prepísať na 2x + 28 + 9 - 5.
Krok 5. Pokračujte v delení
Keď hľadáte vo svojich rovniciach problémy s delením, majte na pamäti, že rovnako ako násobenie, aj delenie môže byť napísané niekoľkými spôsobmi. Jedným z nich je symbol, ale pamätajte na to, že delenie znamená aj lomka a pomlčka, napríklad vo zlomkoch (napr. 3/4).
Pretože delenie (4/2) sme už urobili, keď sme diely dokončili v zátvorkách. Náš príklad už nemá problém s delením, takže tento krok preskočíme. Toto ukazuje dôležitý bod - pri zjednodušovaní výrazu nemusíte vykonávať všetky operácie, iba operácie obsiahnuté vo vašom probléme
Krok 6. Ďalej pridajte čokoľvek, čo je vo vašej rovnici
Môžete pracovať zľava doprava, ale jednoduchšie je spočítať najskôr ľahko pridateľné čísla. Napríklad v úlohe 49 + 29 + 51 + 71 je jednoduchšie sčítať 49 + 51 = 100, 29 + 71 = 100 a 100 + 100 = 200, ako 49 + 29 = 78, 78 + 51 = 129. a 129 + 71 = 200.
Náš príklad rovnice bol čiastočne zjednodušený na 2x + 28 + 9 - 5. Teraz musíme sčítať čísla, ktoré môžeme sčítať - pozrime sa na každý problém sčítania zľava doprava. Nemôžeme sčítať 2x a 28, pretože nepoznáme hodnotu x, takže to jednoducho preskočíme. 28 + 9 = 37, je možné prepísať ako 2x + 37 - 5.
Krok 7. Posledným krokom sledu operácií je odčítanie
Pokračujte vo svojom probléme vyriešením zostávajúcich problémov s odčítaním. V tomto kroku môžete odčítanie považovať za sčítanie záporných čísel alebo za použitia rovnakých krokov ako pri probléme s pravidelným sčítaním - vaša voľba neovplyvní vašu odpoveď.
-
V našom probléme, 2x + 37 - 5, je len jeden problém s odčítaním. 37 - 5 =
Krok 32.
Krok 8. Skontrolujte svoju rovnicu
Po vyriešení pomocou poradia operácií by mala byť vaša rovnica zjednodušená na najjednoduchšiu formu. Ak však vaša rovnica obsahuje jednu alebo viac premenných, pochopte, že na vašich premenných nie je potrebné pracovať. Na zjednodušenie premennej musíte buď nájsť hodnotu premennej, alebo použiť špeciálne techniky na zjednodušenie výrazu (pozri krok nižšie).
Naša konečná odpoveď je 2x + 32. Tento konečný súčet nemôžeme vyriešiť, pokiaľ nepoznáme hodnotu x, ale keby sme poznali jeho hodnotu, bolo by riešenie tejto rovnice oveľa jednoduchšie ako našu dlhú pôvodnú rovnicu
Metóda 2 z 2: Zjednodušenie komplexných rovníc
Krok 1. Sčítajte diely, ktoré majú rovnakú premennú
Pri riešení premenných rovníc pamätajte na to, že časti, ktoré majú rovnakú premennú a exponent (alebo rovnakú premennú), je možné sčítať a odčítať ako bežné čísla. Táto časť musí mať rovnakú premennú a exponent. Môžete napríklad pridať 7x a 5x, ale 7x a 5x2 nemožno sčítať.
- Toto pravidlo platí aj pre niektoré premenné. Napríklad 2xy2 je možné zhrnúť do -3xy2, ale nemôže byť zhrnuté do -3x2y alebo -3r2.
- Pozri rovnicu x2 + 3x + 6 - 8x. V tejto rovnici môžeme sčítať 3x a -8x, pretože majú rovnakú premennú a exponent. Jednoduchá rovnica sa stane x2 - 5x + 6.
Krok 2. Zjednodušte zlomkové čísla delením alebo prečiarknutím faktorov
Zlomky, ktoré majú v čitateľovi a menovateli iba čísla (a žiadne premenné), je možné zjednodušiť niekoľkými spôsobmi. Prvá, a možno najľahšia, je myslieť na zlomok ako na problém delenia a rozdeliť menovateľa na čitateľa. Každý multiplikačný faktor, ktorý sa objaví v čitateľovi a menovateli, môže byť tiež prečiarknutý, pretože delenie týchto dvoch faktorov má za následok číslo 1.
Pozrite sa napríklad na zlomok 36/60. Ak máme kalkulačku, môžeme ju rozdeliť a získať odpoveď 0, 6. Ak však kalkulačku nemáme, môžeme si ju ešte zjednodušiť prečiarknutím rovnakých faktorov. Ďalším spôsobom predstavy 36/60 je (6 × 6)/(6 × 10). Tento zlomok je možné zapísať ako 6/6 × 6/10. 6/6 = 1, takže náš zlomok je v skutočnosti 1 × 6/10 = 6/10. Ešte sme však neskončili - 6 aj 10 majú rovnaký faktor, čo je 2. Opakovaním vyššie uvedenej metódy sa výsledok stane 3/5.
Krok 3. Na zlomku premennej prečiarknite všetky faktory premennej
Variabilné rovnice vo forme zlomkov majú jedinečný spôsob zjednodušenia. Rovnako ako bežné zlomky, aj variabilné zlomky vám umožňujú eliminovať faktory, ktoré majú spoločný čitateľ aj menovateľ. Vo variabilných zlomkoch však týmito faktormi môžu byť čísla a rovnice skutočnej premennej.
- Povedzme rovnicu (3x2 + 3x)/(-3x2 + 15x). Tento zlomok je možné zapísať ako (x + 1) (3x)/(3x) (5 - x), 3x sa zobrazí v čitateľovi aj v menovateli. Vyškrtnutím týchto faktorov z rovnice sa výsledok stane (x + 1)/(5 - x). Rovnaké ako vo výraze (2x2 + 4x + 6)/2, pretože každá časť je deliteľná 2, môžeme rovnicu napísať ako (2 (x2 + 2x + 3))/2 a potom zjednodušte na x2 + 2x + 3.
- Upozorňujeme, že nemôžete prečiarknuť všetky sekcie - môžete prečiarknuť iba multiplikačné faktory, ktoré sa zobrazujú v čitateľovi a menovateli. Napríklad vo výraze (x (x + 2))/x môže byť x prečiarknuté z čitateľa aj menovateľa, takže sa stane (x + 2)/1 = (x + 2). (X + 2)/x však nemožno prečiarknuť na 2/1 = 2.
Krok 4. Vynásobte časť v zátvorkách konštantou
Pri vynásobení časti, ktorá má premennú v zátvorkách konštantou, môže niekedy vynásobenie každej časti v zátvorkách konštantou viesť k jednoduchšej rovnici. To platí pre konštanty, ktoré pozostávajú iba z čísel a konštánt, ktoré majú premenné.
- Napríklad rovnica 3 (x2 + 8) je možné zjednodušiť na 3x2 + 24, zatiaľ čo 3x (x2 + 8) je možné zjednodušiť na 3x3 + 24x.
- Všimnite si toho, že v niektorých prípadoch, ako sú variabilné zlomky, môžu byť konštanty okolo zátvoriek prečiarknuté, takže ich nie je potrebné vynásobiť časťou v zátvorkách. Vo zlomkoch (3 (x2 + 8))/3x, napríklad faktor 3 sa vyskytuje v čitateľovi aj v menovateli, takže ho môžeme prečiarknuť a zjednodušiť výraz na (x2 + 8)/x. S týmto výrazom sa pracuje jednoduchšie a jednoduchšie ako (3x3 + 24x)/3x, čo je výsledok, ktorý dostaneme, ak ho vynásobime.
Krok 5. Zjednodušte faktoring
Faktoring je technika, ktorú je možné použiť na zjednodušenie niektorých variabilných výrazov vrátane polynómov. Faktorizáciu považujte za opak vynásobenia časťou v zátvorkách v predchádzajúcom kroku - za výraz sa niekedy dá považovať skôr to, že sa vynásobia dve časti navzájom, a nie za unitárny výraz. To platí najmä vtedy, ak vám faktoringová rovnica umožní prečiarknuť jednu z jej častí (ako vo zlomkoch). V určitých prípadoch (často s kvadratickými rovnicami) vám faktoring dokonca umožní nájsť riešenie rovnice.
- Predpokladajme opäť výraz x2 - 5x + 6. Tento výraz je možné zapracovať do (x - 3) (x - 2). Ak teda x2 - 5x + 6 je čitateľ danej rovnice, kde menovateľ má jeden z týchto faktorov, ako vo výraze (x2 - 5x + 6)/(2 (x - 2)), možno by sme ho chceli napísať vo forme faktora, aby sme mohli prečiarknuť faktor so menovateľom. Inými slovami, v (x - 3) (x - 2)/(2 (x - 2)) môže byť časť (x - 2) prečiarknutá tak, aby bola (x - 3)/2.
-
Ako bolo uvedené vyššie, ďalším dôvodom, prečo by ste chceli faktorizovať svoje rovnice, je to, že faktoring vám môže poskytnúť odpovede na určité rovnice, najmä ak sú zapísané ako rovné 0. Napríklad rovnica x2 - 5x + 6 = 0. Faktoring dáva (x - 3) (x - 2) = 0. Keďže akékoľvek číslo vynásobené nulou sa rovná nule, vieme, že ak sa ktorákoľvek časť zátvorky rovná nule, celá rovnica naľavo od znamienko rovnosti je tiež nulové. Takže to
Krok 3 da
Krok 2. sú dve odpovede na rovnicu.
