V dňoch, keď boli vynájdené kalkulačky, museli študenti a profesori vypočítať odmocniny ručne. Na prekonanie tohto náročného procesu bolo vyvinutých niekoľko rôznych spôsobov. Niektoré spôsoby poskytujú hrubý odhad a iné presnú hodnotu. Ak sa chcete dozvedieť, ako nájsť druhú odmocninu čísla pomocou jednoduchých operácií, prečítajte si najskôr krok 1 nižšie.
Krok
Metóda 1 z 2: Použitie primárnej faktorizácie
Krok 1. Rozdeľte svoje číslo na dokonalé štvorcové faktory
Táto metóda používa faktory čísla na nájdenie druhej odmocniny čísla (v závislosti od čísla môže byť odpoveďou presné číslo alebo blízka aproximácia). Faktory čísla sú množinou ďalších čísel, ktoré po vynásobení vygenerujú toto číslo. Môžete napríklad povedať, že faktory 8 sú 2 a 4, pretože 2 × 4 = 8. Medzitým sú dokonalé štvorce celé čísla, ktoré sú súčinom iných celých čísel. Napríklad 25, 36 a 49 sú dokonalé štvorce, pretože sú 52, 62a 72. Ako ste asi uhádli, perfektné štvorcové faktory sú faktory, ktoré sú tiež dokonalými štvorcami. Ak chcete začať hľadať odmocninu pomocou primárnej faktorizácie, najskôr sa snažte zjednodušiť svoje číslo na perfektné druhé mocniny.
- Použime príklad. Chceme nájsť odmocninu zo 400 ručne. Na začiatku rozdelíme číslo na jeho dokonalé štvorcové faktory. Pretože 400 je násobok 100, vieme, že 400 je deliteľné číslom 25 - perfektný štvorec. Pri rýchlom delení tieňov zistíme, že 400 delených 25 sa rovná 16. Zhodou okolností je 16 aj perfektný štvorec. Dokonalé štvorcové faktory 400 sú teda 25 a 16 pretože 25 × 16 = 400.
- Môžeme to napísať ako: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)
Krok 2. Nájdite odmocninu z vašich dokonalých štvorcových faktorov
Vlastnosť násobenia odmocniny uvádza, že pre akékoľvek číslo a a b platí Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b). Vďaka tejto vlastnosti teraz môžeme nájsť druhú odmocninu našich dokonalých štvorcových faktorov a vynásobiť ich, aby sme dostali našu odpoveď.
-
V našom prípade nájdeme odmocniny 25 a 16. Pozri nižšie:
- Koreň (25 × 16)
- Koreň (25) × Koreň (16)
-
5 × 4 =
Krok 20.
Krok 3. Ak vaše číslo nie je možné dokonale vypočítať, zjednodušte svoju odpoveď na najjednoduchší tvar
V reálnom živote často čísla, ktoré potrebujete na nájdenie odmocniny, nie sú príjemnými celými číslami so zjavnými perfektnými druhou mocninou, ako je 400. V týchto prípadoch je možné, že nevieme nájsť správnu odpoveď. Ako celé číslo. Avšak tým, že nájdete toľko dokonalých štvorcových faktorov, koľko môžete nájsť, môžete nájsť odpoveď v podobe druhej odmocniny, ktorá je menšia, jednoduchšia a ľahšie sa počíta. Ak to chcete urobiť, znížte počet na kombináciu dokonalých štvorcových faktorov a nedokonalých štvorcových faktorov a potom zjednodušte.
-
Ako príklad použijeme odmocninu zo 147. 147 nie je súčinom dvoch dokonalých štvorcov, takže nemôžeme získať presnú celočíselnú hodnotu, ako je uvedené vyššie. 147 je však súčin jedného dokonalého štvorca a iného čísla - 49 a 3. Tieto informácie môžeme použiť na napísanie našej odpovede v najjednoduchšej forme takto:
- Koreň (147)
- = Koreň (49 × 3)
- = Sqrt (49) × Sqrt (3)
- = 7 × koreň (3)
Krok 4. Ak je to potrebné, odhadnite
Ak je vaša odmocnina v najjednoduchšej forme, je zvyčajne pomerne jednoduché získať hrubý odhad odpovede na číslo uhádnutím hodnoty zostávajúcej odmocniny a jej vynásobením. Jeden zo spôsobov, ako odhadnúť, je vyhľadať dokonalé štvorce, ktoré sú väčšie a menšie ako číslo v odmocnine. Všimnete si, že desatinná hodnota čísla v druhej odmocnine je medzi týmito dvoma číslami, takže môžete odhadnúť hodnotu medzi týmito dvoma číslami.
-
Vráťme sa k nášmu príkladu. pretože 22 = 4 a 12 = 1, vieme, že koreň (3) je medzi 1 a 2 - pravdepodobne bližšie k 2 ako 1. Odhadujeme 1, 7 7 × 1, 7 = 11, 9. Ak skontrolujeme svoju odpoveď na kalkulačke, uvidíme, že naša odpoveď je dosť blízko skutočnej odpovedi, ktorá je 12, 13.
To platí aj pre väčšie čísla. Napríklad koreň (35) možno aproximovať medzi 5 a 6 (možno bližšie k 6). 52 = 25 a 62 = 36. 35 je medzi 25 a 36, takže druhá odmocnina musí byť medzi 5 a 6. Pretože 35 je iba jedna menšia ako 36, môžeme s istotou povedať, že druhá odmocnina je o niečo menšia ako 6. Kontrola pomocou kalkulačky bude dajte nám odpoveď je asi 5, 92 - máme pravdu.
Krok 5. Ako prvý krok alternatívne znížte počet na najmenej bežné faktory
Nájdenie faktorov dokonalých štvorcov nie je potrebné, ak môžete ľahko určiť prvočíselné faktory čísla (faktory, ktoré sú tiež prvočíslami). Napíšte svoje číslo z hľadiska najmenej bežných faktorov. Potom nájdite páry prvočísel, ktoré zodpovedajú vašim faktorom. Keď nájdete dva hlavné faktory, ktoré sú rovnaké, odstráňte tieto dve čísla zo odmocniny a jedno z týchto čísel umiestnite mimo odmocniny.
-
Pomocou tejto metódy napríklad nájdite druhú odmocninu zo 45. Vieme, že 45 × 5, a vieme, že pod 9 = 3 × 3. Preto môžeme svoju odmocninu zapísať z hľadiska týchto faktorov: Sqrt (3 × 3 × 5). Odstráňte obe 3 a vložte jednu 3 mimo odmocniny, aby ste zjednodušili svoju odmocninu na najjednoduchšiu formu: (3) Koreň (5).
Odtiaľto budeme ľahko odhadovať.
-
Ako posledný príklad problému skúsme nájsť druhú odmocninu z 88:
- Koreň (88)
- = Koreň (2 × 44)
- = Koreň (2 × 4 × 11)
- = Koreň (2 × 2 × 2 × 11). V odmocnine máme nejaké 2. Pretože 2 je prvočíslo, môžeme odstrániť dvojicu 2 a jednu z nich dať mimo odmocniny.
-
= Naša druhá odmocnina v najjednoduchšej forme je (2) Sqrt (2 × 11) alebo (2) Koreň (2) Koreň (11).
Odtiaľto môžeme odhadnúť Sqrt (2) a Sqrt (11) a nájsť približnú odpoveď, ako chceme.
Metóda 2 z 2: Ručné nájdenie odmocniny
Použitie algoritmu dlhej divízie
Krok 1. Rozdeľte číslice svojho čísla do dvojíc
Táto metóda používa proces podobný dlhému deleniu na nájdenie presnej odmocniny číslice po číslici. Aj keď to nie je povinné, môže byť pre vás jednoduchšie vykonať tento postup, ak svoje pracovisko a svoje čísla vizuálne usporiadate do ľahko spracovateľných častí. Najprv nakreslite zvislú čiaru rozdeľujúcu pracovnú oblasť na dve časti a potom nakreslite kratšiu vodorovnú čiaru v blízkosti pravého horného rohu, aby ste rozdelili pravú časť na menšiu hornú časť a väčšiu spodnú časť. Ďalej oddeľte svoje číslice do dvojíc, začínajúc desatinnou čiarkou. Podľa tohto pravidla sa napríklad 79 520 789 182 47897 zmení na „7 95 20 78 91 82. 47 89 70“. Vľavo hore napíšte svoje číslo.
Skúste napríklad vypočítať druhú odmocninu 780, 14. Nakreslite dve čiary, ktorými rozdelíte svoje pracovisko, ako je uvedené vyššie, a doľava hore napíšte „7 80. 14“. Nezáleží na tom, či je číslo úplne vľavo jedno číslo a nie dvojica čísel. Svoju odpoveď napíšete (druhá odmocnina 780, 14) vpravo hore
Krok 2. Nájdite najväčšie celé číslo, ktorého štvorcová hodnota je menšia alebo rovná číslu (alebo dvojici čísel) úplne vľavo
Začnite úplne vľavo od svojho čísla, dvojíc čísel aj jednoduchých čísel. Nájdite najväčší perfektný štvorec, ktorý je menší alebo rovný tomuto číslu, potom nájdite odmocninu tohto dokonalého štvorca. Toto číslo je n. Napíšte n v pravom hornom rohu a napíšte štvorček n v dolnom pravom kvadrante.
V našom prípade je úplne vľavo číslo 7. Pretože vieme, že 22 = 4 ≤ 7 < 32 = 9, môžeme povedať, že n = 2, pretože 2 je najväčšie celé číslo, ktorého štvorcová hodnota je menšia alebo rovná 7. Napíšte 2 do pravého horného kvadrantu. Toto je prvá číslica našej odpovede. Napíšte 4 (štvorcová hodnota 2) do pravého dolného kvadrantu. Toto číslo je dôležité pre ďalší krok.
Krok 3. Od páru úplne vľavo odpočítajte číslo, ktoré ste práve vypočítali
Rovnako ako pri dlhom delení, ďalším krokom je odpočítať hodnotu štvorca, ktorý sme práve našli, od časti, ktorú sme práve analyzovali. Napíšte toto číslo pod prvú časť a odpočítajte ho, pričom pod neho napíšte svoju odpoveď.
-
V našom prípade napíšeme 4 pod 7 a potom ich odpočítame. Toto odčítanie prináša odpoveď
Krok 3.
Krok 4. Zahoďte ďalší pár
Posuňte sa nadol v ďalšej časti čísla, pre ktoré hľadáte druhú odmocninu, vedľa hodnoty odčítania, ktorú ste práve našli. Ďalej vynásobte číslo v pravom hornom kvadrante dvoma a odpoveď napíšte do pravého dolného kvadrantu. Vedľa čísla, ktoré ste si práve zapísali, nechajte miesto pre problém s násobením, ktorý urobíte v nasledujúcom kroku napísaním „“_ × _ = “'.
V našom prípade je ďalšou dvojicou našich čísel „80“. Napíšte „80“vedľa 3 do ľavého kvadrantu. Ďalej vynásobte číslo vpravo hore dvoma. Toto číslo je 2, takže 2 × 2 = 4. Napíšte „4“do pravého dolného kvadrantu a za ním _×_=.
Krok 5. Vyplňte medzery v pravom kvadrante
Musíte vyplniť všetky medzery, ktoré ste práve napísali, v pravom kvadrante rovnakým celým číslom. Toto celé číslo musí byť najväčšie celé číslo, vďaka ktorému je produkt v pravom kvadrante menší alebo rovný číslu aktuálne vľavo.
V našom prípade vyplníme prázdne miesta číslom 8, výsledkom bude 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. Táto hodnota je väčšia ako 384. 8 je teda príliš veľké, ale 7 môže fungovať. Napíšte prázdne miesto 7 a vyriešte: 4 (7) × 7 = 329. 7 je správne číslo, pretože 329 je menšie ako 380. Napíšte 7 do pravého horného kvadrantu. Toto je druhá číslica v odmocnine z 780, 14
Krok 6. Od čísla teraz vľavo odčítajte číslo, ktoré ste práve vypočítali
Pokračujte v reťazci odčítania pomocou metódy dlhého delenia. Vezmite súčin problému v pravom kvadrante a odpočítajte ho od čísla, ktoré je teraz naľavo, pričom nižšie napíšte svoje odpovede.
V našom prípade odčítame 329 od 380, čím získame výsledok 51.
Krok 7. Opakujte krok 4
Odvodte ďalšiu časť čísla, pre ktoré hľadáte odmocninu. Keď dosiahnete desatinnú čiarku vo svojom čísle, zadajte desatinnú čiarku do svojej odpovede v pravom hornom kvadrante. Potom vynásobte číslo vpravo hore 2 a napíšte ho vedľa prázdneho problému násobenia („_ × _“), ako je uvedené vyššie.
V našom prípade, pretože teraz pracujeme s desatinnou čiarkou v 780, 14, napíšte desatinnú čiarku za našu aktuálnu odpoveď vpravo hore. Ďalej spustite ďalší pár (14) do ľavého kvadrantu. Dvojnásobné číslo v pravom hornom rohu (27) sa rovná 54, takže do pravého dolného kvadrantu napíšte „54 _ × _ =“
Krok 8. Zopakujte kroky 5 a 6
Nájdite najväčšiu číslicu, ktorou chcete vyplniť medzery napravo, čím získate odpoveď menšiu alebo rovnú číslu, ktoré je v súčasnosti vľavo. Potom problém vyriešte.
V našom prípade 549 × 9 = 4941, čo je číslo menšie alebo rovnaké ako číslo vľavo (5114). 549 × 10 = 5490 je príliš veľký, takže 9 je vaša odpoveď. Napíšte 9 ako ďalšiu číslicu v pravom hornom kvadrante a odčítajte výrobok od čísla vľavo: 5114 mínus 4941 sa rovná 173
Krok 9. Ak chcete pokračovať v počítaní číslic, znížte dvojicu núl naľavo a zopakujte kroky 4, 5 a 6
Pre väčšiu presnosť pokračujte v tomto procese a nájdite stovky, tisíce a ďalšie miesta vo svojej odpovedi. Pokračujte v tomto cykle, kým nenájdete požadované desatinné miesto.
Pochopenie procesu
Krok 1. Predstavte si číslo, z ktorého ste vypočítali druhú odmocninu, ako plochu S štvorca
Pretože plocha štvorca je P2 kde P je dĺžka jednej zo strán, potom sa pokúšate nájsť druhú odmocninu svojho čísla a v skutočnosti sa pokúšate vypočítať dĺžku P tejto strany štvorca.
Krok 2. Určte premenné písmena pre každú číslicu vašej odpovede
Nastavte premennú A ako prvú číslicu P (druhá odmocnina, ktorú sa pokúšame vypočítať). B bude druhá číslica, C tretia číslica atď.
Krok 3. Určte premenné písmena pre každú časť vášho počiatočného čísla
Nastaviť premennú Sa pre prvý pár číslic v S (vaša počiatočná hodnota), Sb pre druhý pár číslic atď.
Krok 4. Pochopte vzťah medzi touto metódou a dlhým delením
Tento spôsob hľadania druhej odmocniny je v zásade dlhý deliaci problém, ktorý delí vaše počiatočné číslo na druhú odmocninu a dáva vám odmocninu z odpovede. Rovnako ako v prípade dlhého delenia vás v každom kroku zaujíma iba ďalšia číslica. Týmto spôsobom vás zaujímajú iba nasledujúce dve číslice v každom kroku (čo je ďalšia číslica v každom kroku pre druhú odmocninu).
Krok 5. Nájdite najväčšie číslo, ktorého štvorcová hodnota je menšia alebo rovná Sa.
Prvá číslica A v našej odpovedi je najväčšie celé číslo, ktorého štvorcová hodnota nepresahuje Sa (tj A tak, aby A² Sa <(A+1) ²). V našom prípade Sa = 7 a 2² 7 <3², takže A = 2.
Upozorňujeme, že ak by ste napríklad chceli rozdeliť 88962 na 7 pomocou dlhého delenia, prvé kroky sú takmer rovnaké: uvidíte prvú číslicu 88962 (čo je 8) a hľadáte najväčšiu číslicu. ktorý po vynásobení 7 je menší alebo rovný 8 V zásade hľadáte d tak, aby 7 × d 8 <7 × (d+1). V tomto prípade sa d bude rovnať 1
Krok 6. Predstavte si hodnotu štvorca, na ktorého ploche sa chystáte začať pracovať
Vaša odpoveď, druhá odmocnina vášho štartového čísla, je P, ktorá opisuje dĺžku štvorca s plochou S (vaše štartové číslo). Vaše známky pre A, B, C predstavujú číslice v hodnote P. Ďalším spôsobom, ako to povedať, je 10A + B = P (pre dvojcifernú odpoveď), 100A + 10B + C = P (pre troj- digitálna odpoveď) atď.
V našom prípade (10A+B) ² = P2 = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Pamätajte si, že 10A+B predstavuje našu odpoveď, P, pričom B je v jednotkách a A v desiatkach. Napríklad s A = 1 a B = 2, potom 10A+B sa rovná 12. (10A+B) ² je celková plocha námestia, pričom 100A² je rozloha najväčšieho námestia na ňom, B² je plocha najmenšieho štvorca v ňom, a 10A × B je plocha dvoch zostávajúcich obdĺžnikov. Týmto dlhým a spletitým procesom nájdeme celkovú plochu štvorca súčtom oblastí štvorcov a obdĺžnikov vo vnútri.
Krok 7. Odčítajte A² od S.a.
Znížte jeden pár číslic (S.b) S. Hodnota Sa Sb blízko k celkovej ploche štvorca, ktorý ste práve použili na odpočítanie väčšieho vnútorného štvorca. Zostávajúcu časť je možné považovať za číslo N1, ktoré sme získali v kroku 4 (v našom prípade N1 = 380). N1 sa rovná 2 krát: 10A × B + B² (plocha dvoch obdĺžnikov plus plocha menšieho štvorca).
Krok 8. Nájdite N1 = 2 × 10A × B + B², ktorý je tiež zapísaný ako N1 = (2 × 10A + B) × B
V našom prípade už poznáte N1 (380) a A (2), takže musíte nájsť B. B pravdepodobne nie je celé číslo, takže skutočne musíte nájsť najväčšie celé číslo B také, aby (2 × 10A + B) × B N1. Takže máte: N1 <(2 × 10A+(B+1)) × (B+1).)
Krok 9. Dokončite
Ak chcete vyriešiť túto rovnicu, vynásobte A 2, posuňte výsledok do polohy desiatok (ekvivalent násobenia 10), umiestnite B do polohy jednotiek a číslo vynásobte B. Inými slovami, vyriešte (2 × 10A + B) × B. Presne to urobíte, keď v kroku 4 napíšete „N_ × _ =“(s N = 2 × A) do pravého dolného kvadrantu. V kroku 5 nájdete najväčšie celé číslo B, ktoré zodpovedá číslo pod ním tak, aby (2 × 10A + B) × B N1.
Krok 10. Odpočítajte oblasť (2 × 10A + B) × B od celkovej plochy
Výsledkom tohto odčítania je oblasť S- (10A+B) ², ktorá nebola vypočítaná (a ktorá bude použitá na výpočet ďalšej číslice rovnakým spôsobom).
Krok 11. Ak chcete vypočítať ďalšiu číslicu C, postup zopakujte
Spustite ďalší pár (Sc) z S, aby ste dostali N2 vľavo, a nájdite najväčšie C tak, aby ste mali (2 × 10 × (10A+B)+C) × C N2 (ekvivalent dvojnásobku dvojciferného čísla „AB“a za ním „_ × _ =“. Nájdite najväčšiu zhodnú číslicu v medzere, ktorá dáva odpoveď menšiu alebo rovnajúcu sa N2, ako predtým.
Tipy
- Posun desatinnej čiarky o násobok dvoch číslic v čísle (násobok 100) znamená posunutie desatinnej čiarky o násobok jednej číslice v druhej odmocnine (násobok 10).
- V tomto prípade možno 1,73 považovať za „zvyšok“: 780, 14 = 27, 9² + 1,73.
- Túto metódu je možné použiť pre akýkoľvek základ, nielen pre základ 10 (desatinný).
- Môžete použiť kalkul, ktorý je pre vás pohodlnejší. Niektorí ľudia napíšu výsledok nad počiatočné číslo.
- Alternatívny spôsob použitia opakovaných zlomkov je dodržať tento vzorec: z = (x^2 + y) = x + y/(2x + y/(2x + y/(2x +…))). Napríklad na výpočet druhej odmocniny 780, 14 je celé číslo, ktorého druhá mocnina je najbližšie k 780, 14, 28, takže z = 780, 14, x = 28 a y = -3, 86. Zadávanie hodnôt a výpočet odhadov iba pre x + y/(2x) poskytne (najjednoduchšie) 78207/20800 alebo asi 27, 931 (1); nasledujúci termín, 4374188/156607 alebo približne 27, 930986 (5). Každý výraz pridáva k presnosti predchádzajúceho počtu desatinných miest asi 3 desatinné miesta.
