Racionálna rovnica je zlomok s jednou alebo viacerými premennými v čitateľovi alebo menovateli. Racionálna rovnica je akýkoľvek zlomok, ktorý zahŕňa aspoň jednu racionálnu rovnicu. Rovnako ako bežné algebraické rovnice, aj racionálne rovnice sú riešené vykonaním rovnakej operácie na oboch stranách rovnice, kým nie je možné premenné preniesť na obidve strany rovnice. Dve špeciálne techniky, krížové násobenie a hľadanie najmenej spoločného menovateľa, sú veľmi užitočnými spôsobmi na pohyb premenných a riešenie racionálnych rovníc.
Krok
Metóda 1 z 2: Krížové násobenie
Krok 1. Ak je to potrebné, usporiadajte svoju rovnicu tak, aby ste získali zlomok na jednej strane rovnice
Krížové násobenie je rýchly a ľahký spôsob riešenia racionálnych rovníc. Túto metódu možno bohužiaľ použiť iba pre racionálne rovnice, ktoré obsahujú najmenej jednu racionálnu rovnicu alebo zlomok na každej strane rovnice. Ak vaša rovnica nespĺňa tieto požiadavky na krížové produkty, možno budete musieť použiť algebraické operácie na premiestnenie dielov na správne miesta.
-
Napríklad rovnicu (x + 3)/4-x/(-2) = 0 je možné ľahko vložiť do krížovej súčinovej formy pridaním x/(-2) na obe strany rovnice tak, že sa stane (x + 3)/4 = x/(-2).
Upozorňujeme, že desatinné a celé čísla je možné previesť na zlomky tak, že zadáte menovateľ 1. (x + 3)/4 - 2, 5 = 5, napríklad je možné prepísať ako (x + 3)/4 = 7, 5/ 1, čím je splnená podmienka krížového násobenia
- Niektoré racionálne rovnice nemožno ľahko redukovať na formu, ktorá má na každej strane jeden zlomok alebo racionálnu rovnicu. V takýchto prípadoch použite rovnaký prístup najmenšieho menovateľa.
Krok 2. Krížové násobenie
Krížové násobenie znamená vynásobenie jedného z čitateľov zlomku menovateľom iného zlomku a naopak. Vynásobte čitateľa zlomku vľavo menovateľom zlomku vpravo. Opakujte s pravým menovateľom s ľavým menovateľom.
Krížové násobenie funguje podľa základných algebraických princípov. Racionálne rovnice a iné zlomky je možné prerobiť na zlomky tak, že ich vynásobime menovateľom. Krížový súčin je v zásade rýchly spôsob, ako vynásobiť obe strany rovnice oboma menovateľmi. Neveríš? Skúste to - rovnaký výsledok získate aj po zjednodušení
Krok 3. Zarovnajte dva výrobky navzájom
Po krížovom násobení získate dva výsledky znásobenia. Urobte ich navzájom rovnakými a zjednodušte, aby bola rovnica čo najjednoduchšia.
Ak bola napríklad vaša pôvodná racionálna rovnica (x+3)/4 = x/(-2), po krížovom vynásobení sa vaša nová rovnica stane -2 (x+3) = 4x. Ak chcete, môžete to napísať aj ako -2x - 6 = 4x
Krok 4. Nájdite hodnotu premennej
Na nájdenie hodnoty premennej vašej rovnice použite algebraické operácie. Pamätajte si, že ak sa x zobrazí na oboch stranách rovnice, musíte sčítať alebo odčítať x z oboch strán rovnice, aby x zostalo iba na jednej strane rovnice.
V našom prípade môžeme obe strany rovnice rozdeliť na -2, takže x+3 = -2x. Odčítaním x z oboch strán dostaneme 3 = -3x. Nakoniec, vydelením oboch strán číslom -3, sa výsledok stane -1 = x, ktorý možno zapísať ako x = -1. Našli sme hodnotu x, vyriešením našej racionálnej rovnice
Metóda 2 z 2: Nájdenie najmenej spoločného menovateľa
Krok 1. Poznáte presný čas na použitie rovnakého najmenšieho menovateľa
Rovnakého najmenšieho menovateľa je možné použiť na zjednodušenie racionálnych rovníc, vďaka čomu je možné v nich vyhľadávať hodnoty premenných. Nájdenie najmenšieho spoločného menovateľa je dobrý nápad, ak vašu racionálnu rovnicu nemožno ľahko napísať v podobe jedného zlomku (a iba jedného zlomku) na každej strane rovnice. Na riešenie racionálnych rovníc s tromi alebo viacerými časťami je nápomocný najmenej spoločný menovateľ. Na vyriešenie racionálnej rovnice iba s dvoma časťami je však rýchlejšie použiť krížový súčin.
Krok 2. Skontrolujte menovateľa každého zlomku
Identifikujte najmenšie číslo, ktoré môže každý menovateľ rozdeliť, a vytvorte celé číslo. Toto číslo je najmenej spoločným menovateľom vašej rovnice.
- Niekedy je najmenší spoločný menovateľ - to znamená najmenšie číslo, ktoré má v menovateli všetky faktory - niekedy dobre viditeľný. Ak je napríklad vaša rovnica x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6, nie je ťažké nájsť najmenšie číslo s faktorom 3, 2 a 6, ktoré je číslo 6.
- Najmenej spoločný menovateľ racionálnej rovnice však často nie je jasne viditeľný. V takom prípade skúste skontrolovať násobky väčšieho menovateľa, kým nenájdete číslo, ktoré má faktor všetkých ostatných menších menovateľov. Najmenej spoločným menovateľom je často súčin dvoch menovateľov. Napríklad v rovnici x/8 + 2/6 = (x-3)/9 je najmenej spoločný menovateľ 8*9 = 72.
- Ak má jeden alebo viac menovateľov zlomku premenné, je tento proces náročnejší, ale je možné ho vykonať. V takom prípade je najmenej spoločným menovateľom rovnica (s premennou), ktorú delia všetky ostatné menovatele. Napríklad v rovnici 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) je najmenej spoločný menovateľ 3x (x-1), pretože ho môže rozdeliť ktorýkoľvek menovateľ-delením (x-1) dostaneme 3x, delené 3x dáva (x-1) a delené x dáva 3 (x-1).
Krok 3. Každý zlomok v racionálnej rovnici vynásobte 1
Vynásobenie každej časti 1 sa zdá zbytočné. Ale tu je ten trik. 1 možno definovať ako akékoľvek číslo, ktoré je rovnaké v čitateľovi aj v menovateli, napríklad -2/2 a 3/3, čo je správny spôsob zápisu 1. Táto metóda využíva alternatívnu definíciu. Vynásobte každý zlomok vo svojej racionálnej rovnici číslom 1 a napíšte číslo 1, ktoré po vynásobení menovateľom dáva najmenší spoločný menovateľ.
- V našom základnom príklade vynásobíme x/3 číslom 2/2, aby sme dostali 2x/6, a vynásobením 1/2 krát 3/3 dostaneme 3/6. 2x + 1/6 už má rovnakého najmenšieho menovateľa, ktorý je 6, takže ho môžeme vynásobiť 1/1 alebo ho nechať na pokoji.
- V našom prípade s premennou v menovateli zlomku je proces trochu komplikovanejší. Pretože náš najmenší menovateľ je 3x (x-1), každú racionálnu rovnicu vynásobíme niečím, čo vráti 3x (x-1). Násobíme 5/(x-1) (3x)/(3x), čo dáva 5 (3x)/(3x) (x-1), vynásobíme 1/x x 3 (x-1)/3 (x- 1), čo dáva 3 (x-1)/3x (x-1), a vynásobením 2/(3x) (x-1)/(x-1) dáva 2 (x-1)/3x (x- 1).
Krok 4. Zjednodušte a nájdite hodnotu x
Teraz, pretože každá časť vašej racionálnej rovnice má rovnakého menovateľa, môžete menovateľa zo svojej rovnice odstrániť a vyriešiť ho pre čitateľa. Vynásobením oboch strán rovnice získate hodnotu čitateľa. Potom pomocou algebraických operácií nájdite hodnotu x (alebo akúkoľvek premennú, ktorú chcete vyriešiť) na jednej strane rovnice.
- V našom základnom príklade po vynásobení všetkých častí alternatívnou formou 1 dostaneme 2x/6 + 3/6 = (3x + 1)/6. Môžu byť sčítané dve zlomky, ak majú rovnakého menovateľa, takže môžeme túto rovnicu zjednodušiť na (2x+3)/6 = (3x+1)/6 bez zmeny hodnoty. Vynásobením oboch strán číslom 6 odstránite menovateľa, takže výsledkom je 2x+3 = 3x+1. Odčítaním 1 z oboch strán získate 2x+2 = 3x a odčítaním 2x z oboch strán získate 2 = x, ktoré je možné zapísať ako x = 2.
- V našom prípade s premennou v menovateli sa naša rovnica po vynásobení číslom 1 stane 5 (3x)/(3x) (x-1) = 3 (x-1)/3x (x-1) + 2 (x-1) /3x (x-1). Vynásobením všetkých častí rovnakým najmenším menovateľom, čo nám umožní menovateľ vynechať, sa stane 5 (3x) = 3 (x-1) + 2 (x-1). To platí aj pre 5x = 3x -3 + 2x -2, čo zjednodušuje na 15x = x -5. Odčítaním x z oboch strán dostaneme 14x = -5, čo sa nakoniec zjednoduší na x = -5/14.
Tipy
- Keď vyriešite premennú, skontrolujte svoju odpoveď vložením hodnoty premennej do pôvodnej rovnice. Ak je hodnota premennej správna, môžete pôvodnú rovnicu zjednodušiť na jednoduché tvrdenie, ktoré sa vždy rovná 1 = 1.
- Všimnite si, že akýkoľvek polynóm môžete napísať ako racionálnu rovnicu; dajte to nad menovateľ 1. Takže x+3 a (x+3)/1 majú rovnakú hodnotu, ale druhú rovnicu možno klasifikovať ako racionálnu rovnicu, pretože je zapísaná ako zlomok.
