Ako zjednodušiť zložité zlomky: 9 krokov (s obrázkami)

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Naposledy zmenené: 2024-01-15 08:23

Komplexný zlomok je zlomok, v ktorom čitateľ, menovateľ alebo obidva tiež obsahujú zlomok. Z tohto dôvodu sa komplexné zlomky niekedy označujú ako „skladané zlomky“. Zjednodušenie zložitých zlomkov môže byť jednoduché alebo náročné v závislosti od toho, koľko čísel je v čitateľovi a menovateli, či je jedno z čísel premennou alebo od zložitosti čísla premennej. Začnite podľa kroku 1 nižšie!

Krok

Metóda 1 z 2: Zjednodušenie komplexných zlomkov inverzným násobením

Krok 1. V prípade potreby zjednodušte čitateľa a menovateľa na jeden zlomok

Zložité zlomky nie je vždy ťažké vyriešiť. V skutočnosti je zložité zlomky, ktorých čitateľ a menovateľ obsahuje jeden zlomok, zvyčajne pomerne ľahko vyriešiteľné. Ak teda čitateľ alebo menovateľ (alebo oboje) komplexného zlomku obsahuje viac zlomkov alebo zlomkov a celé číslo, zjednodušte ho a získajte jediný zlomok v čitateľovi aj v menovateli. Nájdite najmenej spoločný násobok (LCM) dvoch alebo viacerých zlomkov.

• Povedzme napríklad, že chceme zjednodušiť komplexný zlomok (3/5 + 2/15)/(5/7 - 3/10). Najprv zjednodušíme čitateľa aj menovateľa komplexného zlomku na jeden zlomok.

  • Na zjednodušenie čitateľa použite LCM 15 získaný vynásobením 3/5 a 3/3. Čitateľ bude 9/15 + 2/15, čo sa rovná 11/15.
  • Na zjednodušenie menovateľa použijeme výsledok LCM 70, ktorý sa vynásobí 5/7 krát 10/10 a 3/10 7/7. Menovateľ bude 50/70 - 21/70, čo sa rovná 29/70.
  • Nová komplexná frakcia teda je (11/15)/(29/70).

Krok 2. Prevráťte menovateľa, aby ste našli jeho vzájomnosť

Delenie jedného čísla na druhé je podľa definície rovnaké ako vynásobenie prvého čísla recipročným číslom druhého čísla. Teraz, keď máme v čitateľovi aj v menovateli komplexný zlomok s jediným zlomkom, použijeme toto delenie na zjednodušenie komplexného zlomku. Najprv nájdite recipročnú hodnotu frakcie v spodnej časti komplexnej frakcie. Vykonajte to „obrátením“zlomku - umiestnením čitateľa na miesto menovateľa a naopak.

• V našom prípade je zlomok v menovateli komplexného zlomku (11/15)/(29/70) 29/70. Aby sme našli inverziu, „invertujeme“ju, aby sme dostali 70/29.

  Všimnite si toho, že ak má komplexný zlomok v menovateli celé číslo, môžeme s ním zaobchádzať ako so zlomkom a nájsť jeho recipročný. Ak je napríklad komplexný zlomok (11/15)/(29), môžeme vytvoriť menovateľ 29/1, čo znamená, že recipročný je 1/29.

Krok 3. Vynásobte čitateľa komplexného zlomku recipročným menovateľom

Teraz, keď máme recipročný menovateľ komplexného zlomku, vynásobte ho čitateľom a získajte jeden jednoduchý zlomok. Pamätajte si, že na vynásobenie dvoch zlomkov používame iba kríženie - čitateľ nového zlomku je číslo čitateľa dvoch starých zlomkov, ako aj menovateľ.

V našom prípade vynásobíme 11/15 × 70/29. 70 × 11 = 770 a 15 × 29 = 435. Takže nový jednoduchý zlomok je 770/435.

Krok 4. Zjednodušte nový zlomok tým, že nájdete najväčší spoločný faktor

Jeden jednoduchý zlomok už máme, a tak nám stačí vymyslieť to najjednoduchšie číslo. Nájdite najväčší spoločný faktor (GCF) čitateľa a menovateľa a na zjednodušenie ho vydeľte oboma týmito číslami.

Jeden zo spoločných faktorov 770 a 435 je 5. Ak teda delíme čitateľa a menovateľa zlomku 5, dostaneme 154/87. 154 a 87 nemajú žiadne spoločné faktory, takže to je konečná odpoveď!

Metóda 2 z 2: Zjednodušenie komplexných zlomkov obsahujúcich variabilné čísla

Krok 1. Ak je to možné, použite vyššie uvedenú metódu reverzného násobenia

Aby bolo jasné, takmer všetky komplexné zlomky je možné zjednodušiť odčítaním čitateľa a menovateľa jediným zlomkom a vynásobením čitateľa prevrátenou hodnotou menovateľa. Zahrnuté sú aj komplexné zlomky obsahujúce premenné, aj keď čím je vyjadrenie premenných v komplexných zlomkoch komplexnejšie, tým je používanie reverzného násobenia náročnejšie a časovo náročnejšie. Pre „ľahké“komplexné zlomky obsahujúce premenné je dobrou voľbou inverzné násobenie, ale zložité zlomky s viacerými číslami premenných v čitateľovi a menovateli môže byť jednoduchšie zjednodušiť alternatívnym spôsobom popísaným nižšie.

• Napríklad (1/x)/(x/6) je možné zjednodušiť inverzným násobením. 1/x × 6/x = 6/x². Tu nie je potrebné používať alternatívne metódy.
• ((((1)/(x +3)) +x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))))) je však jednoduchšie zjednodušiť inverzným násobením. Redukcia čitateľa a menovateľa komplexných zlomkov na jednoduché zlomky, inverzné násobenie a zníženie výsledku na najjednoduchšie čísla môže byť komplikovaný proces. V tomto prípade môže byť jednoduchšia alternatívna metóda uvedená nižšie.

Krok 2. Ak nie je reverzné násobenie praktické, začnite hľadaním LCM zlomkového čísla v komplexnom zlomku

Prvým krokom je nájsť LCM všetkých zlomkových čísel v komplexnom zlomku - v čitateľovi aj v menovateli. Obvykle, ak má jedno alebo viac zlomkových čísel číslo v menovateli, LCM je číslo v menovateli.

Je to jednoduchšie pochopiť na príklade. Pokúsme sa zjednodušiť vyššie uvedené komplexné zlomky ((((1)/(x +3)) +x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))). Frakčné čísla v tejto komplexnej frakcii sú (1)/(x+3) a (1)/(x-5). LCM týchto dvoch zlomkov je číslo v menovateli: (x+3) (x-5).

Krok 3. Vynásobte čitateľa komplexnej frakcie novo nájdeným LCM

Ďalej musíme vynásobiť číslo v komplexnom zlomku LCM zlomkového čísla. Inými slovami, všetky komplexné zlomky vynásobíme (KPK)/(KPK). Môžeme to urobiť nezávisle, pretože (KPK)/(KPK) sa rovná 1. Najprv vynásobte samotných čitateľov.

• V našom prípade vynásobíme komplexnú frakciu, ((((1)/(x +3)) +x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))), tj ((x+ 3) (x-5))/((x+ 3) (x-5)). Musíme vynásobiť čitateľa a menovateľa komplexného zlomku, každé číslo vynásobiť (x + 3) (x-5).

  • Najprv vynásobíme čitateľov: ((((1)/(x+3))+x - 10) × (x+3) (x -5)

    • = (((x+3) (x-5)/(x+3))+x ((x+3) (x-5))-10 ((x+3) (x-5))
    • = (x-5) + (x (x.)² - 2x - 15)) - (10 (x² - 2x - 15))
    • = (x-5) + (x³ - 2x² - 15x) - (10x² - 20x - 150)
    • = (x-5) + x³ - 12x² + 5x + 150
    • = X³ - 12x² +6x +145

Krok 4. Vynásobte menovateľ komplexnej frakcie LCM tak, ako by ste to urobili s čitateľom

Pokračujte v vynásobení komplexnej frakcie LCM zistenou podľa menovateľa. Vynásobte všetky, vynásobte každé číslo LCM.

• Menovateľ našej komplexnej frakcie, ((((1)/(x +3)) +x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))), je x +4 +((1) // (x-5)). Vynásobíme ho nájdeným LCM, (x+3) (x-5).

  • (x +4 +((1)/(x - 5))) × (x +3) (x -5)
  • = x ((x+3) (x-5))+4 ((x+3) (x-5))+(1/(x-5)) (x+3) (x-5).
  • = x (x² - 2x - 15) + 4 (x² - 2x- 15) + ((x + 3) (x-5))/(x-5)
  • = x³ - 2x² - 15x + 4x² - 8x - 60 + (x + 3)
  • = x³ + 2x² - 23x - 60 + (x + 3)
  • = X³ + 2x² - 22x - 57

Krok 5. Vytvorte nový a zjednodušený zlomok z novo nájdeného čitateľa a menovateľa

Po vynásobení zlomku číslom (KPK)/(KPK) a jeho zjednodušení kombináciou čísel je výsledkom jednoduchý zlomok, ktorý neobsahuje zlomkové číslo. Všimnite si toho, že vynásobením LCM zlomkového čísla v pôvodnom komplexnom zlomku sa menovateľ tohto zlomku vyčerpá a ponechá premenné číslo a celé číslo v čitateľovi a menovateli odpovede bez zlomkov.

S čitateľom a menovateľom uvedeným vyššie môžeme zostrojiť zlomok, ktorý je rovnaký ako pôvodný komplexný zlomok, ale neobsahuje zlomkové číslo. Získaný čitateľ je x³ - 12x² + 6x + 145 a menovateľ, ktorý sme dostali, bol x³ + 2x² - 22x - 57, takže nový zlomok sa stane (X³ - 12x² + 6x + 145)/(x³ + 2x² - 22x - 57)

Tipy

• Ukážte každý krok práce. Zlomky môžu byť mätúce, ak sa kroky počítajú príliš rýchlo alebo sa to pokúšate urobiť naspamäť.
• Nájdite príklady zložitých zlomkov na internete alebo v knihách. Nasledujte každý krok, kým ho nebudete môcť zvládnuť.