Dve zlomky sú ekvivalentné, ak majú rovnakú hodnotu. Vedieť, ako previesť zlomky na ich ekvivalentné formy, je mimoriadne dôležitá matematická zručnosť, ktorá je potrebná pre všetky formy matematiky od základnej algebry po pokročilý počet. Tento článok poskytne niekoľko spôsobov výpočtu ekvivalentných zlomkov od základného násobenia a delenia po zložitejšie spôsoby riešenia ekvivalentných zlomkových rovníc.
Krok
Metóda 1 z 5: Usporiadanie ekvivalentných zlomkov
Krok 1. Vynásobte čitateľa a menovateľa rovnakým číslom
Dve rôzne, ale ekvivalentné zlomky majú podľa definície čitateľa a menovateľa, ktoré sú navzájom násobkami. Inými slovami, vynásobením čitateľa a menovateľa zlomku rovnakým číslom vzniknú ekvivalentné zlomky. Napriek tomu, že čísla v novom zlomku budú odlišné, zlomky budú mať rovnakú hodnotu.
- Ak napríklad vezmeme zlomok 4/8 a vynásobíme čitateľa a menovateľa číslom 2, dostaneme (4 × 2)/(8 × 2) = 8/16. Tieto dve frakcie sú ekvivalentné.
- (4 × 2)/(8 × 2) je v skutočnosti rovnaký ako 4/8 × 2/2. Pamätajte si, že pri násobení dvoch zlomkov násobíme rovno, to znamená čitateľ čitateľom a menovateľ menovateľom.
- Všimnite si toho, že 2/2 sa rovná 1, ak robíte delenie. Je teda jednoduchšie pochopiť, prečo sú 4/8 a 8/16 ekvivalentné, pretože násobenie 4/8 × (2/2) = zostáva 4/8. Rovnakým spôsobom je to rovnaké ako hovoriť 4/8 = 8/16.
- Akýkoľvek daný zlomok má nekonečný počet ekvivalentných zlomkov. Čitateľa aj menovateľa môžete vynásobiť ľubovoľným celým číslom bez ohľadu na veľkosť alebo malé číslo, aby ste získali ekvivalentný zlomok.
Krok 2. Rozdeľte čitateľa a menovateľa rovnakým číslom
Rovnako ako násobenie, delenie možno použiť aj na nájdenie nového zlomku, ktorý je ekvivalentný vášmu pôvodnému zlomku. Ak chcete získať ekvivalentný zlomok, vydelte čitateľa a menovateľa zlomku rovnakým číslom. Tento proces má jednu nevýhodu - konečný zlomok musí mať v čitateľovi aj v menovateli celé čísla, aby bol pravdivý.
Pozrime sa napríklad na 4/8. Ak namiesto násobenia vydelíme čitateľa a menovateľa 2, dostaneme (4 2)/(8 2) = 2/4. 2 a 4 sú celé čísla, takže tieto ekvivalentné zlomky sú pravdivé
Metóda 2 z 5: Použitie základného násobenia na určenie rovnosti
Krok 1. Nájdite číslo, ktoré je potrebné vynásobiť menším menovateľom, aby ste získali väčšieho menovateľa
Mnoho problémov so zlomkami zahŕňa určenie, či sú dve zlomky ekvivalentné. Vypočítaním tohto čísla môžete začať porovnávať zlomkové výrazy, aby ste určili rovnosť.
- Napríklad znova použite zlomky 4/8 a 8/16. Menší menovateľ je 8 a číslo musíme vynásobiť 2, aby sme získali väčšieho menovateľa, ktorý je 16. Číslo je teda v tomto prípade 2.
- Pri ťažších číslach môžete väčšieho menovateľa rozdeliť na menšieho. V tomto prípade je 16 delené 8, čo stále dáva 2.
- Číslo nie je vždy celé číslo. Ak sú napríklad menovatelia 2 a 7, číslo je 3, 5.
Krok 2. Vynásobte čitateľa a menovateľa zlomku, ktorý má menší výraz, číslom z prvého kroku
Dve rôzne, ale ekvivalentné zlomky majú podľa definície čitateľ a menovateľ, ktoré sú navzájom násobkami. Inými slovami, vynásobením čitateľa a menovateľa zlomku rovnakým číslom vznikne ekvivalentný zlomok. Napriek tomu, že čísla v tomto novom zlomku budú odlišné, tieto zlomky budú mať rovnakú hodnotu.
Ak napríklad použijeme zlomok 4/8 z prvého kroku a vynásobíme čitateľa a menovateľa číslom, ktoré sme definovali predtým, čo je 2, dostaneme (4 × 2)/(8 × 2) = 8/16. Tento výsledok dokazuje, že tieto dve frakcie sú ekvivalentné.
Metóda 3 z 5: Použitie základného delenia na určenie rovnosti
Krok 1. Každý zlomok spočítajte ako desatinné číslo
V prípade jednoduchých zlomkov bez premenných môžete na určenie rovnosti reprezentovať každý zlomok ako desatinné číslo. Pretože každý zlomok je v skutočnosti problémom delenia, je to najjednoduchší spôsob, ako určiť rovnosť.
- Použite napríklad zlomok, ktorý sme použili predtým, 4/8. Zlomok 4/8 je ekvivalentom výrazu 4 deleného 8, čo je 4/8 = 0,5. Môžete tiež vyriešiť druhý príklad, ktorý je 8/16 = 0,5. Bez ohľadu na podmienky vo zlomku je zlomok ekvivalentný ak sú obe čísla pri desatinnom vyjadrení rovnaké.
- Majte na pamäti, že než je zrejmá rovnosť, desatinné výrazy môžu mať viac číslic. Ako základný príklad sa 1/3 = 0,333 opakuje, zatiaľ čo 3/10 = 0,3. Pri použití viac ako jednej číslice vidíme, že tieto dve zlomky nie sú ekvivalentné.
Krok 2. Vydelením čitateľa a menovateľa zlomku rovnakým číslom získate ekvivalentný zlomok
Pri zložitejších zlomkoch vyžaduje metóda delenia ďalšie kroky. Zatiaľ čo pri násobení môžete čitateľa a menovateľa zlomku vydeliť rovnakým číslom, čím získate ekvivalentný zlomok. Tento proces má jednu nevýhodu. Konečný zlomok musí mať pravdivé celé číslo v čitateľovi aj v menovateli.
Pozrime sa napríklad na 4/8. Ak namiesto násobenia vydelíme čitateľa a menovateľa 2, dostaneme (4 2)/(8 2) = 2/4. 2 a 4 sú celé čísla, takže tieto ekvivalentné zlomky sú pravdivé.
Krok 3. Zjednodušte zlomky na ich najjednoduchšie termíny
Väčšina zlomkov je zvyčajne napísaná najjednoduchším spôsobom a zlomky môžete previesť na ich najjednoduchšiu formu delením najväčším spoločným faktorom (GCF). Tento krok sa robí rovnakou logikou ako zápis ekvivalentných zlomkov a prevádza ich na rovnakého menovateľa, ale táto metóda sa pokúša zjednodušiť každý zlomok na najmenšie možné termíny.
- Keď je zlomok v najjednoduchšej forme, čitateľ a menovateľ majú najmenšie možné hodnoty. Obe nemožno rozdeliť žiadnym celým číslom, aby sa získala menšia hodnota. Aby sme zlomok, ktorý nie je v najjednoduchšej forme, previedli do najjednoduchšej ekvivalentnej podoby, delíme čitateľa a menovateľa podľa ich najväčšieho spoločného činiteľa.
-
Najväčším spoločným faktorom (GCF) čitateľa a menovateľa je najväčšie číslo, ktoré ich delí a dáva celočíselný výsledok. Takže v našom prípade 4/8, pretože
Krok 4. je najväčšie číslo, ktoré je deliteľné 4 a 8, vydelíme čitateľa a menovateľa nášho zlomku 4, aby sme získali najjednoduchšie výrazy. (4 4)/(8 4) = 1/2. V našom inom prípade 8/16 je GCF 8, ktoré tiež vracia hodnotu 1/2 ako najjednoduchšie vyjadrenie zlomku.
Metóda 4 z 5: Použitie krížových produktov na nájdenie premenných
Krok 1. Usporiadajte dve frakcie tak, aby boli navzájom rovnaké
Krížové násobenie používame pre matematické úlohy, kde vieme, že zlomky sú ekvivalentné, ale jedno z čísel bolo nahradené premennou (zvyčajne x), ktorú musíme vyriešiť. V takýchto prípadoch vieme, že tieto zlomky sú ekvivalentné, pretože sú to jediné výrazy na druhej strane znamienka rovnosti, ale často nie je zrejmý spôsob, ako nájsť premennú. Našťastie s krížovým násobením je riešenie týchto typov problémov jednoduché.
Krok 2. Vezmite dve ekvivalentné zlomky a vynásobte ich tvarom „X“
Inými slovami, vynásobíte čitateľa jedného zlomku menovateľom iného zlomku a naopak, potom usporiadate obe odpovede tak, aby sa zhodovali a vyriešili.
Vezmite si naše dva príklady, 4/8 a 8/16. Žiadny nemá premennú, ale môžeme tento koncept dokázať, pretože už vieme, že sú ekvivalentné. Krížovým násobením dostaneme 4/16 = 8 x 8 alebo 64 = 64, čo je pravda. Ak tieto dve čísla nie sú rovnaké, potom zlomky nie sú ekvivalentné
Krok 3. Pridajte premenné
Pretože krížové násobenie je najľahší spôsob určenia ekvivalentných zlomkov, keď musíte nájsť premenné, pridajme premenné.
-
Použime napríklad rovnicu 2/x = 10/13. Aby sme sa násobili, vynásobíme 2 x 13 a 10 x, potom nastavíme naše odpovede na seba navzájom rovnako:
- 2 × 13 = 26
- 10 × x = 10x
- 10x = 26. Odtiaľ je nájdenie odpovede na našu premennú jednoduchý problém s algebrou. x = 26/10 = 2, 6, čím sa získa počiatočný ekvivalentný zlomok 2/2, 6 = 10/13.
Krok 4. Pre zlomky s viacerými premennými alebo pre výrazy s premennými použite krížové násobenie
Jedna z najlepších vecí na krížovom násobení je, že v skutočnosti funguje rovnako, či už pracujete s dvoma jednoduchými zlomkami (ako je uvedené vyššie) alebo so zložitejšími zlomkami. Ak napríklad obe zlomky majú premenné, v procese riešenia tieto premenné musíte iba odstrániť. Podobne, ak má čitateľ alebo menovateľ zlomku variabilný výraz (napríklad x + 1), jednoducho ho „vynásobte“pomocou distribučnej vlastnosti a vyriešte ako obvykle.
-
Použime napríklad rovnicu ((x + 3)/2) = ((x + 1)/4). V tomto prípade, ako je uvedené vyššie, to vyriešime pomocou krížového produktu:
- (x + 3) × 4 = 4x + 12
- (x + 1) × 2 = 2x + 2
- 2x + 2 = 4x + 12, potom môžeme zlomok zjednodušiť odčítaním 2x z oboch strán
- 2 = 2x + 12, potom premennú izolujeme odčítaním 12 z oboch strán
- -10 = 2x a delením 2 nájdeme x
- - 5 = x
Metóda 5 z 5: Použitie kvadratických vzorcov na nájdenie premenných
Krok 1. Prejdite dve frakcie
Pri problémoch rovnosti, ktoré vyžadujú kvadratický vzorec, stále začíname pomocou krížového súčinu. Každý krížový súčin, ktorý zahŕňa vynásobenie výrazov premennej výrazmi inej premennej, však pravdepodobne povedie k výrazu, ktorý nie je možné ľahko vyriešiť pomocou algebry. V takýchto prípadoch možno budete musieť použiť techniky ako faktoring a/alebo kvadratické vzorce.
-
Pozrime sa napríklad na rovnicu ((x +1)/3) = (4/(2x - 2)). Najprv sa poďme krížiť:
- (x + 1) × (2x - 2) = 2x2 + 2x -2x - 2 = 2x2 - 2
- 4 × 3 = 12
- 2x2 - 2 = 12.
Krok 2. Napíšte rovnicu ako kvadratickú rovnicu
V tejto časti chceme napísať túto rovnicu v kvadratickej forme (ax2 + bx + c = 0), čo urobíme tak, že rovnicu nastavíme na nulu. V tomto prípade odčítame 12 z oboch strán, aby sme dostali 2x2 - 14 = 0.
Niektoré hodnoty sa môžu rovnať 0. Aj keď je to dvakrát2 - 14 = 0 je najjednoduchšia forma našej rovnice, skutočná kvadratická rovnica je 2x2 + 0x + (-14) = 0. Na začiatku môže byť užitočné zapísať si tvar kvadratickej rovnice, aj keď sa niektoré hodnoty rovnajú 0.
Krok 3. Vyriešte to tak, že čísla zo svojej kvadratickej rovnice zapojíte do kvadratického vzorca
Kvadratický vzorec (x = (-b +/- (b2 - 4ac))/2a) nám pomôže nájsť našu hodnotu x v tejto časti. Nebojte sa dĺžky vzorca. Jednoducho vezmite hodnoty zo svojej kvadratickej rovnice v kroku dva a umiestnite ich na správne miesta pred ich vyriešením.
- x = (-b +/- (b2 - 4ac))/2a. V našej rovnici 2x2 - 14 = 0, a = 2, b = 0, a c = -14.
- x = (-0 +/- (02 - 4(2)(-14)))/2(2)
- x = (+/- (0 - -112))/2 (2)
- x = (+/- (112))/2 (2)
- x = (+/- 10,58/4)
- x = +/- 2, 64
Krok 4. Skontrolujte svoju odpoveď opätovným zadaním hodnoty x do svojej kvadratickej rovnice
Pripojením vypočítanej hodnoty x späť do kvadratickej rovnice z kroku dva môžete ľahko zistiť, či ste správne odpovedali. V tomto prípade zapojíte 2, 64 a -2, 64 do pôvodnej kvadratickej rovnice.
Tipy
- Konvertovanie zlomku na jeho ekvivalent je v skutočnosti formou vynásobenia zlomku číslom 1. Pri prevode 1/2 na 2/4 je vynásobenie čitateľa a menovateľa číslom 2 rovnaké ako vynásobenie 1/2 číslom 2/2, čo sa rovná 1..
-
Ak je to žiaduce, konvertujte zmiešané číslo na spoločný zlomok, aby sa prevod jednoduchšie. Samozrejme, nie všetky zlomky, s ktorými sa stretnete, budú také jednoduché, ako previesť náš príklad 4/8 vyššie. Zmiešané čísla (napríklad 1 3/4, 2 5/8, 5 2/3 atď.) Môžu napríklad proces prevodu trochu skomplikovať. Ak chcete previesť zmiešané číslo na spoločný zlomok, môžete to urobiť dvoma spôsobmi: prevedením zmiešaného čísla na spoločný zlomok a jeho následným prevedením ako obvykle, alebo zachovaním formy zmiešaných čísel a získavaním odpovedí vo forme zmiešaných čísel.
- Ak chcete previesť na spoločný zlomok, vynásobte celočíselnú zložku zmiešaného čísla menovateľom zlomkovej zložky a potom pridajte k čitateľovi. Napríklad 1 2/3 = ((1 × 3) + 2)/3 = 5/3. Potom ho podľa potreby môžete zmeniť. Napríklad 5/3 × 2/2 = 10/6, ktorá zostáva rovná 1 2/3.
- Nemusíme ho však prevádzať na bežný zlomok, ako je uvedené vyššie. V opačnom prípade necháme celočíselnú zložku na pokoji, zmeníme iba zlomkovú zložku a celočíselnú zložku sčítame nezmenenú. Napríklad pre 3 4/16 vidíme iba 4/16. 4/16 4/4 = 1/4. Takže pridaním našich celočíselných komponentov späť získame nové zmiešané číslo, 3 1/4.
Pozor
- Násobenie a delenie je možné použiť na získanie ekvivalentných zlomkov, pretože násobenie a delenie so zlomkovým tvarom čísla 1 (2/2, 3/3 atď.) Dáva odpoveď, ktorá je podľa definície ekvivalentná pôvodnému zlomku. Sčítanie a odčítanie nie je možné použiť.
-
Napriek tomu, že pri násobení zlomkov vynásobíte čitateľov a menovateľov, pri sčítaní alebo odčítaní zlomkov menovatele nepridáte ani neodčítate.
Napríklad vyššie vieme, že 4/8 4/4 = 1/2. Ak sčítame do 4/4, dostaneme úplne inú odpoveď. 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2 alebo 3/2, nie sú rovné 4/8.
