Ovládanie algebry je nevyhnutné pre pokračovanie v takmer akomkoľvek type matematiky, či už na základnej alebo strednej škole. Každá matematická úroveň má základ, takže každá matematická úroveň je veľmi dôležitá. Avšak aj tie najzákladnejšie algebraické schopnosti môžu byť pre začiatočníkov ťažké pochopiť pri prvom stretnutí s nimi. Ak máte problémy so základnými témami algebry, nebojte sa - s trochou dodatočného vysvetlenia, niekoľkými jednoduchými príkladmi a niekoľkými tipmi na zlepšenie svojich schopností budete čoskoro riešiť problémy s algebrou ako profesionál.
Krok
Časť 1 z 5: Naučenie sa základných pravidiel algebry
Krok 1. Pozrite sa na svoje základné matematické operácie
Ak sa chcete začať učiť algebru, budete potrebovať základné matematické schopnosti, ako je sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie. Táto matematika na základnej/základnej škole je veľmi dôležitá, než začnete študovať algebru. Ak tieto zručnosti neovládate, bude ťažké dokončiť komplexnejšie pojmy vyučované v algebre. Ak potrebujete na tieto operácie osviežiť, vyskúšajte náš článok o základných matematických schopnostiach.
Na to, aby ste robili problémy s algebrou, nemusíte byť schopní vykonávať tieto základné operácie v hlave. Mnoho tried algebry vám umožňuje použiť kalkulačku, ktorá vám ušetrí čas pri vykonávaní týchto jednoduchých operácií. Mali by ste však aspoň vedieť, ako vykonávať tieto operácie bez kalkulačky, keď kalkulačku nemôžete používať
Krok 2. Poznať poradie operácií
Jednou z najzložitejších vecí pri riešení algebraických rovníc ako začiatočníka je poznať poradie, v ktorom začínajú. Našťastie pri riešení týchto problémov existuje určitý poriadok: najskôr urobte akúkoľvek matematickú operáciu v zátvorkách, potom urobte exponenty, potom násobte, rozdeľujte, potom sčítajte a nakoniec odčítajte. Užitočným prostriedkom na zapamätanie si poradia týchto operácií sú skratky KPKBJK. Tu sa dozviete, ako použiť poradie operácií. Aby sme to zhrnuli, poradie operácií je:
- Kzlyhať
- Pvýťah/Exponent
- Kali
- Bznova
- Jumlah
- Kkrevety
-
Poradie operácií je v algebre dôležité, pretože vykonávanie operácií s problémom algebry v zlom poradí môže niekedy ovplyvniť odpoveď. Ak napríklad urobíme matematickú úlohu 8 + 2 × 5, ak najskôr sčítame 2 a 8, dostaneme 10 × 5 = 50, ale ak najskôr vynásobíme 2 a 5, dostaneme 8 + 10 =
Krok 18.. Správna je iba druhá odpoveď.
Krok 3. Vedieť používať záporné čísla
V algebre je používanie záporných čísel veľmi časté. Preto je dobré si najskôr prečítať, ako sčítať, odčítať, násobiť a deliť záporné čísla, než sa začnete učiť algebru. Tu je niekoľko zásad, ktoré by ste si mali zapamätať - ďalšie informácie nájdete v našich článkoch o sčítaní a odčítaní záporných čísel a delení a násobení záporných čísel.
- V číselnom rade je záporná verzia čísla v rovnakej vzdialenosti od nuly ako kladné číslo od nuly, ale v opačnom smere.
- Sčítaním dvoch záporných čísel bude číslo ešte zápornejšie (inými slovami, číslica bude väčšia, ale pretože číslo je záporné, hodnota bude menšia)
- Dva záporné znamienka sa navzájom vylučujú - odpočítanie záporného čísla je rovnaké ako pridanie kladného čísla
- Vynásobením alebo delením dvoch záporných čísel získate kladnú odpoveď.
- Vynásobením alebo delením kladného čísla a záporného čísla získate zápornú odpoveď.
Krok 4. Vedieť, ako štruktúrovať dlhé otázky
Jednoduché problémy s algebrou je možné vyriešiť jednoducho, zložitejšie problémy však môžu vyžadovať veľa krokov. Aby ste sa vyhli chybám, zorganizujte si prácu tým, že začnete nový riadok vždy, keď urobíte krok k vyriešeniu problému. Ak pracujete s obojstrannou rovnicou, skúste napísať všetky znamienka rovnosti („=“) pod ostatné znamienka rovnosti. Ak tak niekde urobíte chybu, bude jednoduchšie ju nájsť a opraviť.
-
Napríklad na vyriešenie rovnice 9/3 - 5 + 3 × 4 by sme mohli svoj problém štruktúrovať takto:
-
- 9/3 - 5 + 3 × 4
- 9/3 - 5 + 12
- 3 - 5 + 12
- 3 + 7
- Krok 10.
-
Časť 2 z 5: Pochopenie premenných
Krok 1. Vyhľadajte symboly, ktoré nie sú číslami
V algebre začnete vidieť písmená a symboly vo vašich matematických problémoch, nielen v číslach. Tieto písmená a symboly sa nazývajú premenné. Premenné nie sú také mätúce, ako sa na prvý pohľad môže zdať - sú to len spôsoby, ako zapísať čísla s neznámymi hodnotami. Nasleduje niekoľko bežných príkladov premenných v algebre:
- Písmená ako x, y, z, a, b a c
- Grécke písmená ako théta alebo
- Všimnite si toho, že nie všetky symboly sú neznáme premenné. Napríklad pi, alebo, sa vždy rovná asi 3,1445.
Krok 2. Premenlivé považujte za „neznáme“čísla
Ako bolo uvedené vyššie, premenné sú v zásade iba čísla s neznámymi hodnotami. Obvykle je vašim cieľom v problémoch s algebrou zistiť hodnotu premennej - uvažujte o premennej ako o „záhadnom čísle“, ktoré sa pokúšate nájsť.
-
Napríklad v rovnici 2x + 3 = 11 je x naša premenná. To znamená, že existuje niekoľko hodnôt, ktoré zaberajú miesto x, aby bola ľavá strana rovnice rovná 11. Pretože 2 × 4 + 3 = 11, v tomto prípade x =
Krok 4..
-
Ľahký spôsob, ako začať chápať premenné, je nahradiť ich pri problémoch s algebrou otáznikmi. Rovnicu 2 + 3 + x = 9 môžeme napríklad prepísať na 2 + 3 +?
= 9. To nám uľahčuje porozumenie veciam, o ktoré sa pokúšame - stačí nájsť hodnotu, ktorú je potrebné pridať k 2 + 3 = 5, aby sme získali 9. Opäť platí, že odpoveď je samozrejme
Krok 4..
Krok 3. Ak sa premenná vyskytuje viac ako raz, zjednodušte ju
Čo robiť, ak sa rovnaká premenná v rovnici objaví viac ako raz? Aj keď sa táto situácia môže zdať ťažko riešiteľná, v skutočnosti môžete s premennými zaobchádzať ako s normálnymi číslami - inými slovami, môžete ich sčítať, odčítať a podobne, pokiaľ kombinujete iba podobné premenné. Inými slovami, x + x = 2x, ale x + y sa nerovná 2xy.
-
Pozrime sa napríklad na rovnicu 2x + 1x = 9. V tomto probléme môžeme sčítať 2x a 1x, aby sme dostali 3x = 9. Keďže 3 x 3 = 9, vieme, že x =
Krok 3.
- Znovu si všimnite, že dohromady môžete pridávať iba rovnaké premenné. V rovnici 2x + 1y = 9 nemôžeme kombinovať 2x a 1y, pretože ide o rôzne premenné.
- To platí aj vtedy, ak jedna premenná má iný exponent ako druhá premenná. Napríklad v rovnici 2x + 3x2 = 10, nemôžeme kombinovať 2x a 3x2 pretože premenná x má odlišný exponent. Ak chcete získať ďalšie informácie, prečítajte si, ako pridať exponenty.
Časť 3 z 5: Naučte sa, ako riešiť rovnice „negáciou“
Krok 1. Skúste izolovať premenné v algebraických rovniciach
Riešenie rovníc v algebre zvyčajne znamená zistiť hodnotu premennej. Algebraické rovnice sa zvyčajne skladajú z čísel a/alebo premenných na oboch stranách takto: x + 2 = 9 × 4. Ak chcete nájsť hodnotu premennej, musíte izolovať premennú na jednej strane znamienka rovnosti. Čokoľvek zostane na druhej strane znamienka rovnosti, je vaša odpoveď.
V príklade (x + 2 = 9 × 4) na izolovanie x na ľavej strane rovnice musíme odstrániť „ + 2“. Aby sme to urobili, stačí z tejto strany odčítať iba 2, pričom nám zostane x = 9 × 4. Aby však boli obe strany rovnice rovnaké, musíme tiež 2 odčítať z druhej strany. Zostáva nám x = 9 × 4 - 2. Podľa poradia operácií najskôr vynásobíme, potom odčítame, pričom dostaneme odpoveď x = = 36 - 2 = 34.
Krok 2. Odstráňte sčítanie odčítaním (a naopak)
Ako sme práve videli vyššie, izolácia x na jednej strane znamienka rovnosti znamená zvyčajne odstránenie čísiel vedľa neho. Aby sme to urobili, vykonáme „reverznú“operáciu na oboch stranách rovnice. Napríklad v rovnici x + 3 = 0, pretože po našom x vidíme „ + 3“, dáme na obe strany „-3“. „+3“a „-3“, pričom x zostane a „-3“na druhej strane znamienka rovnosti sa rovná tomuto: x = -3.
-
Vo všeobecnosti je sčítanie a odčítanie ako „obrátenie“- vypočítajte jednu operáciu, ktorou zahodíte druhú. Pozri nižšie:
-
- Okrem toho odčítajte. Príklad: x + 9 = 3 → x = 3 - 9
- Ak chcete odčítať, sčítajte. Príklad: x - 4 = 20 → x = 20 + 4
-
Krok 3. Odstráňte násobenie delením (a naopak)
S násobením a delením je o niečo ťažšie pracovať, ako sčítaním a odčítaním, ale tieto výpočty majú rovnaký „obrátený“vzťah. Ak na jednej strane vidíte „× 3“, negujete to tak, že obe strany vydelíte 3 a podobne.
-
Pri násobení a delení musíte vykonať obrátenú operáciu pre všetky čísla, ktoré sú na druhej strane znamienka rovnosti, aj keď táto strana obsahuje viac ako jedno číslo. Pozri nižšie:
-
- Na násobenie rozdeľte. Príklad: 6x = 14 + 2 → x = (14 + 2) /6
- Na rozdelenie vynásobte. Príklad: x/5 = 25 → x = 25 × 5
-
Krok 4. Odstráňte exponent nájdením koreňa (a naopak)
Exponenty sú dosť pokročilou témou pred algebrou - ak neviete, ako na to, prečítajte si náš článok o základných exponenciáloch, kde nájdete ďalšie informácie. „Reverz“exponentu je koreň, ktorý má rovnaké číslo ako exponent. Napríklad recipročná hodnota exponentu 2 je druhá odmocnina (√), recipročná hodnota exponentu 3 je koreň kocky (3), a tak ďalej.
-
Môže to byť trochu mätúce, ale v týchto prípadoch pri práci s exponentom hľadáte korene oboch strán. Inými slovami, pri práci s koreňom robíte umocnenie pre obe strany. Pozri nižšie:
-
- Pre exponent nájdite koreň. Príklad: x2 = 49 → x = √49
- Pre korene zdvihnite. Príklad: x = 12 → x = 122
-
Časť 4 z 5: Zdokonaľte svoje schopnosti v oblasti algebry
Krok 1. Na objasnenie otázok použite obrázky
Ak máte problém s predstavou problému s algebrou, skúste na ilustráciu svojej rovnice použiť diagram alebo obrázok. Môžete sa dokonca pokúsiť použiť veľa fyzických predmetov (napríklad bloky alebo mince), ak ich máte.
-
Vyriešme napríklad rovnicu x + 2 = 3 pomocou štvorca (☐)
-
- x +2 = 3
- ☒+☐☐ =☐☐☐
- V tomto kroku odčítame 2 z oboch strán odstránením 2 štvorcov (☐☐) z oboch strán:
- ☒+☐☐-☐☐ =☐☐☐-☐☐
-
= ☐ alebo x =
Krok 1.
-
-
Ako ďalší príklad skúsme 2x = 4
-
- ☒☒ =☐☐☐☐
- V tomto kroku rozdelíme obe strany oddelením políčok na každej strane do dvoch skupín:
- ☒|☒ =☐☐|☐☐
-
=, alebo x =
Krok 2.
-
Krok 2. Použite „kontroly zdravého rozumu“(najmä pri príbehových otázkach)
Pri prevádzaní problémov príbehu na algebru sa pokúste skontrolovať svoje vzorce zadaním jednoduchých hodnôt pre svoje premenné. Má vaša rovnica zmysel, keď x = 0? Kedy x = 1? Kedy x = -1? Je ľahké urobiť jednoduchú chybu, keď napíšete p = 6d, keď máte na mysli p = d/6, ale tieto veci ľahko zistíte, ak svoju prácu urobíte rýchlo a zdravým rozumom, než sa pohnete ďalej.
Napríklad nám bolo povedané, že futbalové ihrisko je o 30 m dlhšie ako široké. Na znázornenie tohto problému používame rovnicu p = l + 30. Môžeme skontrolovať, či má táto rovnica zmysel, zadaním jednoduchých hodnôt pre l. Ak má napríklad pole šírku l = 10 m, je dĺžka 10 + 30 = 40 m. Ak je šírka 30 m, dĺžka je 30 + 30 = 60 m atď. Táto rovnica dáva zmysel - očakávame, že toto pole bude mať s rastúcou šírkou väčšiu dĺžku, takže táto rovnica dáva zmysel
Krok 3. Všimnite si, že odpovede nie sú vždy celé čísla v algebre
Odpovede v algebre a ďalších pokročilých formách nie sú vždy jednoduché, okrúhle čísla. Toto číslo môže byť desatinné, zlomkové alebo iracionálne číslo. Kalkulačka vám môže pomôcť nájsť tieto komplexné odpovede, ale majte na pamäti, že váš učiteľ môže vyžadovať, aby ste svoje odpovede písali v presnej forme, nie v zložitej desatinnej forme.
Napríklad zjednodušíme algebraickú rovnicu na x = 12507. Ak napíšeme 12507 v kalkulačke dostaneme veľmi veľa desatinných miest (navyše, pretože obrazovka kalkulačky nie je príliš veľká, kalkulačka nemôže zobraziť všetky odpovede.) V takom prípade možno budeme chcieť zapísať našu odpoveď ako iba 12507 alebo odpoveď zjednodušte tak, že ju napíšete do vedeckého zápisu.
Krok 4. Keď sa cítite sebaisto so základnou algebrou, vyskúšajte faktoring
Jednou z najkomplexnejších algebraických schopností zo všetkých je faktoring - druh skratky na premenu zložitých rovníc na jednoduchšie formy. Faktoring je polorozvinutá téma algebry, takže ak máte problém s jeho zvládnutím, zvážte prečítanie vyššie uvedeného článku. Nasleduje niekoľko rýchlych tipov na faktoringové rovnice:
- Rovnica tvaru ax + ba je zapracovaná do a (x + b). Príklad: 2x + 4 = 2 (x + 2)
- Rovnica tvaru sekera2 + bx je započítané do cx ((a/c) x + (b/c)), kde c je najväčšie číslo, ktoré môže rovnomerne rozdeliť a a b. Príklad: 3r2 + 12r = 3r (y + 4)
- Rovnica tvaru x2 + bx + c je započítané do (x + y) (x + z), kde y × z = c a yx + zx = bx. Príklad: x2 + 4x + 3 = (x + 3) (x + 1).
Krok 5. Cvičte, cvičte a cvičte
Pokrok v algebre (a ďalších typoch matematiky) si vyžaduje veľa tvrdej práce a opakovania. Nebojte sa - tým, že sa algebra začne v triede venovať všetkým úlohám, bude plniť všetky svoje úlohy a hľadať pomoc od svojho učiteľa alebo iných študentov, keď to budete potrebovať.
Krok 6. Požiadajte svojho učiteľa, aby vám pomohol porozumieť zložitým algebraickým témam
Ak máte problém porozumieť algebre, nebojte sa - nemusíte sa ju učiť sami. Váš učiteľ je prvou osobou, na ktorú by ste sa mali obrátiť s otázkami. Po vyučovaní zdvorilo požiadajte svojho učiteľa o pomoc. Dobrý učiteľ bude zvyčajne ochotný znova vysvetliť tému dňa na školskom stretnutí a váš učiteľ vám môže poskytnúť ďalšie cvičné materiály.
Ak vám z nejakého dôvodu učiteľ nemôže pomôcť, opýtajte sa ho na ďalšie možnosti štúdia na vašej škole. Mnoho škôl má nejaký mimoškolský program, ktorý vám môže pomôcť získať viac času a pozornosti, ktoré potrebujete na zvládnutie svojej algebry. Pamätajte si, že používanie bezplatnej pomoci, ktorú máte k dispozícii, sa nemusí hanbiť - je to znak toho, že ste dosť múdri na to, aby ste svoj problém vyriešili
Časť 5 z 5: Skúmanie medziľahlých tém
Krok 1. Naučte sa vykresľovať grafy rovnice x/y
Grafy môžu byť cenným nástrojom v algebre, pretože vám umožňujú prezentovať nápady, ktoré vyžadujú čísla, vo forme ľahko zrozumiteľných obrázkov. V začiatočníckej algebre sú problémy s grafom zvyčajne obmedzené na rovnice s dvoma premennými (zvyčajne x a y) a sú reprezentované v jednoduchých 2-D grafoch s osou x a osou y. Pri týchto rovniciach stačí zadať hodnotu pre x, potom hľadať y (alebo naopak), aby ste získali dve čísla, ktoré sa stanú bodom v grafe.
- Napríklad v rovnici y = 3x, ak zadáme 2 pre x, dostaneme y = 6. To znamená, že bod (2, 6) (dva kroky vpravo od stredu grafu a šesť krokov nahor od stredu grafu) je súčasťou grafu tejto rovnice.
- Rovnice tvaru y = mx + b (kde m a b sú čísla) sú v základnej algebre veľmi časté. Tieto rovnice majú vždy gradient alebo sklon m a pretínajú os y na y = b.
Krok 2. Naučte sa riešiť nerovnosti
Čo robiť, keď vaša rovnica nemá znamienko rovnosti? Ukázalo sa, že sa príliš nelíši od toho, čo zvyčajne robíte. V prípade nerovností, ktoré používajú znamienka ako> („väčšie ako“) a <(„menšie ako“), stačí vyriešiť problém obvyklým spôsobom. Necháte odpoveď, ktorá je menšia alebo väčšia ako vaša premenná.
-
Napríklad s rovnicou 3> 5x - 2 by sme to vyriešili rovnako ako pravidelnú rovnicu:
-
- 3> 5x - 2
- 5> 5x
- 1> x, alebo x <1.
-
- To znamená, že akékoľvek číslo menšie ako jedno môže byť hodnotou x. Inými slovami, x môže byť 0, -1, -2 atď. Ak tieto čísla vložíme do rovnice pre x, vždy dostaneme odpoveď, ktorá je menšia ako 3.
Krok 3. Práca na kvadratických rovniciach
Jednou z algebraických tém, s ktorou môžu mať začiatočníci problémy, je riešenie kvadratických rovníc. Štvorec je rovnicou tvaru osi2 + bx + c = 0, kde a, b, a c sú čísla (okrem toho, že a nemôže byť 0). Tieto rovnice sú riešené vzorcom x = [-b +/- (b2 - 4ac)]/2a. Buďte opatrní - znamienko +/- znamená, že musíte nájsť odpovede na sčítanie a odčítanie, aby ste na tieto typy otázok mohli mať dve odpovede.
-
Riešme napríklad kvadratický vzorec 3x2 + 2x -1 = 0.
-
- x = [-b +/- (b2 - 4ac)]/2a
- x = [-2 +/- (22 - 4(3)(-1))]/2(3)
- x = [-2 +/- (4- (-12))]/6
- x = [-2 +/- (16)]/6
- x = [-2 +/- 4]/6
- x = - 1 a 1/3
-
Krok 4. Experimentujte so sústavami rovníc
Riešenie viac ako jednej rovnice naraz môže znieť veľmi komplikovane, ale keď pracujete s jednoduchými algebraickými rovnicami, nie je to v skutočnosti také ťažké. Učitelia algebry často používajú na riešenie týchto problémov grafický prístup. Keď pracujete so systémom dvoch rovníc, riešením sú body v grafe, kde sa čiary oboch rovníc pretínajú.
- Napríklad pracujeme so systémom, ktorého rovnice sú y = 3x -2 a y = -x -6. Ak do grafu nakreslíme tieto dve čiary, dostaneme jednu priamku, ktorá ide nahor o strmý uhol, a jednu ktorý klesá dolu strmým uhlom. jemným uhlom. Pretože sa tieto čiary v bode pretínajú (-1, -5), potom je tento bod riešením tohto systému.
-
Ak chceme svoj problém skontrolovať, môžeme to urobiť tak, že vložíme svoju odpoveď do rovnice v systéme - správna odpoveď bude „správna“pre obe rovnice.
-
- y = 3x - 2
- -5 = 3(-1) - 2
- -5 = -3 - 2
- -5 = -5
- y = -x - 6
- -5 = -(-1) - 6
- -5 = 1 - 6
- -5 = -5
-
- Obe rovnice sú "začiarknuté", takže naša odpoveď je správna!
Tipy
- Existuje mnoho zdrojov na učenie sa algebry z internetu. Vyhľadajte napríklad vo vyhľadávači výraz „algebraické vzorce“. Existuje toľko skvelých výsledkov, ktoré sa dostavia. Môžete tiež skúsiť prelistovať výber matematických článkov wikiHow. Existuje veľa informácií, takže začnite skúmať hneď teraz!
- Jednou zo skvelých stránok pre začiatočníkov v oblasti algebry je khanacademy.com. Táto bezplatná stránka ponúka desiatky ľahko zrozumiteľných lekcií na najrozmanitejšie témy vrátane algebry. Existujú videá pre všetky tieto témy, od veľmi jednoduchých základov až po pokročilé témy na úrovni univerzity. Nebojte sa preto preskúmať materiály Khan Academy a začať využívať všetku pomoc, ktorú stránka ponúka!
- Nezabudnite, že vaše najlepšie zdroje, keď sa pokúšate naučiť algebru, zahŕňajú ľudí, ktorých dobre poznáte. Opýtajte sa svojich priateľov alebo spolužiakov na poslednú hodinu, ktorej ste nerozumeli.
