Vzdialenosť, často daná premennou „s“, je mierou priestoru, ktorý je priamkou medzi dvoma bodmi. Vzdialenosť sa môže vzťahovať na priestor medzi dvoma nepohyblivými bodmi (napríklad výška osoby je vzdialenosť od spodnej časti chodidiel k temenu hlavy) alebo sa môže vzťahovať na priestor medzi aktuálnou polohou objektu v pohybe a počiatočné miesto, kde sa objekt začal pohybovať. Väčšinu problémov so vzdialenosťou je možné vyriešiť pomocou rovnice s = v × t, kde s je vzdialenosť, v je priemerná rýchlosť a t je čas alebo používanie s = ((x2 - X1)2 + (r2 - r1)2), kde (x1, r1) a (x2, r2) sú súradnice x a y dvoch bodov.
Krok
Metóda 1 z 2: Výpočet vzdialenosti s priemernou rýchlosťou a časom
Krok 1. Nájdite priemerné hodnoty rýchlosti a času
Pri pokuse o výpočet vzdialenosti, ktorú pohybujúci sa objekt prešiel, sú pre tento výpočet dôležité dve informácie: rýchlosť (alebo rýchlosť) a čas že pohybujúci sa predmet cestoval. Na základe týchto informácií je možné vypočítať vzdialenosť, ktorú objekt prejde, podľa vzorca s = v × t.
Aby sme lepšie porozumeli procesu používania vzorca na vzdialenosť, vyriešme príklad problému v tejto časti. Povedzme, že ideme po ceste 120 míľ za hodinu (asi 193 km za hodinu) a chceme vedieť, ako ďaleko prejdeme za pol hodinu. Použite 120 míľ za hodinu ako hodnota priemernej rýchlosti a 0,5 hodiny ako hodnotu času tento problém vyriešime v nasledujúcom kroku.
Krok 2. Vynásobte priemernú rýchlosť časom
Po znalosti priemernej rýchlosti pohybujúceho sa objektu a času, ktorý objekt prešiel, je výpočet prejdenej vzdialenosti relatívne ľahký. Stačí vynásobiť dve hodnoty a nájsť odpoveď.
- Upozorňujeme však, že ak sa jednotka času použitá v priemernej hodnote rýchlosti líši od jednotky použitej v hodnote času, budete ju musieť zmeniť. Ak by sme napríklad mali priemernú hodnotu rýchlosti nameranú v km za hodinu a časovú hodnotu nameranú v minútach, museli by ste časovú hodnotu rozdeliť na 60, aby ste ju mohli previesť na hodiny.
- Dokončime náš príklad problému. 120 míľ/hodinu × 0,5 hodiny = 60 míľ. Všimnite si toho, že jednotky v časovej hodnote (hodiny) vynechávajú menovateľa priemernej rýchlosti (hodiny), pričom zostávajú iba jednotky vzdialenosti (míle).
Krok 3. Zmeňte rovnicu a vypočítajte inú premennú
Jednoduchosť základnej rovnice vzdialenosti (s = v × t) uľahčuje použitie rovnice na nájdenie hodnoty premennej inej ako vzdialenosť. Stačí izolovať premennú, ktorú chcete nájsť, podľa základných pravidiel algebry a potom zadať hodnoty ďalších dvoch premenných, aby ste našli hodnotu tretej premennej. Inými slovami, na výpočet priemernej rýchlosti objektu použite rovnicu v = s/t a na výpočet času, ktorý objekt uplynul, použite rovnicu t = s/v.
- Povedzme napríklad, že vieme, že auto prešlo 60 míľ za 50 minút, ale nemáme hodnotu priemernej rýchlosti pri pohybe objektu. V tomto prípade môžeme izolovať premennú v v rovnici základnej vzdialenosti, aby sme dostali v = d/t, potom stačí rozdeliť 60 míľ/50 minút, aby sme dostali odpoveď 1,2 míľ/minútu.
- Všimnite si toho, že v tomto prípade má odpoveď na rýchlosť neobvyklú jednotku (míle/minútu). Ak chcete získať odpoveď v bežnejších míľach/hodinu, výsledok vynásobte 60 minútami za hodinu 72 míľ za hodinu.
Krok 4. Všimnite si, že premenná „v“vo vzorci vzdialenosti sa týka priemernej rýchlosti
Je dôležité pochopiť, že základný vzorec vzdialenosti ponúka zjednodušený pohľad na pohyb objektu. Vzorec vzdialenosti predpokladá, že pohybujúci sa objekt má konštantnú rýchlosť - inými slovami, predpokladá, že pohybujúci sa objekt má jednu nemennú rýchlosť. Pri abstraktných matematických problémoch, s akými sa môžete stretnúť v akademickom prostredí, je niekedy stále možné modelovať pohyb objektu pomocou tohto predpokladu. V skutočnom živote však tieto príklady často nereflektujú pohyb pohybujúcich sa predmetov, ktoré v skutočnosti môžu v priebehu času zrýchľovať, spomaľovať, zastavovať a cúvať.
- Napríklad vo vyššie uvedenom príklade sme dospeli k záveru, že na prekonanie 60 míľ za 50 minút budeme musieť cestovať 72 míľ za hodinu. To však platí iba vtedy, ak počas celej cesty cestujete jednou rýchlosťou. Napríklad cestovaním 80 míľ/hodinu na polovicu cesty a 64 míľ/hodinu na zvyšnú polovicu prejdeme 60 míľ za 50 minút - 72 míľ/hodinu = 60 míľ/50 minút = ?????
- Riešenia založené na počte, ktoré používajú deriváty, sú často lepšou voľbou ako vzorce na definovanie rýchlosti objektu v reálnych situáciách, pretože zmeny rýchlosti sú možné.
Metóda 2 z 2: Výpočet vzdialenosti medzi dvoma bodmi
Krok 1. Nájdite dve priestorové súradnice dvoch bodov
Čo keď namiesto výpočtu vzdialenosti, ktorú pohybujúci sa objekt prešiel, musíte vypočítať vzdialenosť medzi dvoma nehnuteľnými predmetmi? V takom prípade vyššie opísaný vzorec vzdialenosti založený na rýchlosti nebude fungovať. Našťastie na ľahké vypočítanie vzdialenosti medzi dvoma bodmi možno použiť rôzne vzorce vzdialenosti. Na použitie tohto vzorca však budete potrebovať súradnice dvoch bodov. Pri spracovaní jednorozmerných vzdialeností (ako na číselnom riadku) budú súradnice pozostávať z dvoch čísel x1 a x2. Ak zvládate vzdialenosti v dvoch rozmeroch, budete potrebovať dve hodnoty (x, y), (x1, r1) a (x2, r2). Nakoniec pre tri rozmery budete potrebovať hodnotu (x1, r1, z1) a (x2, r2, z2).
Krok 2. Vypočítajte jednorozmernú vzdialenosť odčítaním hodnôt súradníc dvoch bodov
Vypočítať jednorozmernú vzdialenosť medzi dvoma bodmi, keď už poznáte hodnotu každého bodu, je jednoduché. Stačí použiť vzorec s = | x2 - X1|. V tomto vzorci odčítate x1 od x2, potom vezmite absolútnu hodnotu svojej odpovede a nájdite vzdialenosť medzi x1 a x2. Obvykle budete chcieť použiť vzorec jednorozmernej vzdialenosti, keď sú dva body na čiare alebo číselnej osi.
- Upozorňujeme, že tento vzorec používa absolútne hodnoty (symbol " | |Absolútna hodnota znamená, že hodnota v symbole sa stane kladnou, ak je záporná.
-
Povedzme napríklad, že zastavíme na okraji cesty na dokonale rovnej diaľnici. Ak je mesto 5 míľ pred nami a ďalšie mesto 1 míľu za nami, ako ďaleko sú tieto dve mestá? Ak nastavíme mesto 1 ako x1 = 5 a mesto 2 ako x1 = -1, môžeme vypočítať s, vzdialenosť medzi týmito dvoma mestami, nasledujúcim spôsobom:
- s = | x2 - X1|
- = |-1 - 5|
- = |-6| = 6 míľ.
Krok 3. Vypočítajte dvojrozmernú vzdialenosť pomocou Pytagorovej vety
Výpočet vzdialenosti medzi dvoma bodmi v dvojrozmernom priestore je komplikovanejší ako v jednorozmernom, ale nie náročný. Stačí použiť vzorec s = ((x2 - X1)2 + (r2 - r1)2). V tomto vzorci odčítajte dve súradnice x, vypočítajte odmocninu, odčítajte dve súradnice y, vypočítajte druhú odmocninu, potom sčítajte dva výsledky a vypočítajte druhú odmocninu, aby ste zistili vzdialenosť medzi dvoma bodmi. Tento vzorec platí pre dvojrozmernú rovinu - napríklad na pravidelnom grafe x/y.
- Dvojrozmerný vzorec vzdialenosti používa Pytagorovu vetu, ktorá uvádza, že dĺžka prepony trojuholníka vpravo sa rovná druhej odmocnine štvorca na ostatných dvoch stranách.
- Povedzme napríklad, že máme dva body v rovine x -y: (3, -10) a (11, 7), ktoré predstavujú stred kruhu a bod na kruhu. Aby sme zistili vzdialenosť priamky medzi dvoma bodmi, môžeme ju vypočítať nasledovne:
- s = ((x2 - X1)2 + (r2 - r1)2)
- s = ((11 - 3)2 + (7 - -10)2)
- s = (64 + 289)
- s = (353) = 18, 79
Krok 4. Vypočítajte trojrozmernú vzdialenosť zmenou vzorca dvojrozmernej vzdialenosti
V troch rozmeroch majú body okrem súradníc x a y aj súradnice z. Na výpočet vzdialenosti medzi dvoma bodmi v trojrozmernom priestore použite s = ((x2 - X1)2 + (r2 - r1)2 + (z2 - z1)2). Toto je upravená forma vyššie uvedeného vzorca dvojrozmernej vzdialenosti, ktorý obsahuje súradnicu z. Odčítaním dvoch súradníc z, výpočtom druhej odmocniny a pokračovaním zvyšku vzorca zaistíte, že vaša konečná odpoveď bude predstavovať trojrozmernú vzdialenosť medzi týmito dvoma bodmi.
- Povedzme napríklad, že sme astronauti vznášajúci sa v priestore medzi dvoma asteroidmi. Jeden asteroid je asi 8 km vpredu, 2 km vpravo a 5 km pod nami, zatiaľ čo druhý je asi 3 km za sebou, 3 km vľavo a 4 km nad nami. Ak reprezentujeme polohy dvoch asteroidov so súradnicami (8, 2, -5) a (-3, -3, 4), môžeme vzdialenosť medzi nimi vypočítať nasledovne:
- s = ((-3 - 8)2 + (-3 - 2)2 + (4 - -5)2)
- s = ((-11)2 + (-5)2 + (9)2)
- s = (121 + 25 + 81)
- s = (227) = 15,07 km
