Polynom obsahuje premennú (x) s mocninou, známu ako stupeň, a niekoľko výrazov a/alebo konštánt. Faktorovať polynóm znamená rozdeliť rovnicu na jednoduchšie rovnice, ktoré je možné vynásobiť. Táto schopnosť je v Algebre 1 a vyššej a môže byť ťažké ju pochopiť, ak vaše matematické schopnosti nie sú na tejto úrovni.
Krok
Začnite
Krok 1. Nastavte svoju rovnicu
Štandardný formát kvadratickej rovnice je:
sekera2 + bx + c = 0
Začnite tým, že vo svojej rovnici zoradíte výrazy od najvyššieho po najnižší výkon, rovnako ako v tomto štandardnom formáte. Napríklad:
6 + 6x2 + 13x = 0
Túto rovnicu usporiadame tak, aby sa s ňou dalo jednoduchšie pracovať jednoduchým presunutím výrazov:
6x2 + 13x + 6 = 0
Krok 2. Nájdite tvarový faktor pomocou jednej z nasledujúcich metód
Faktorizácia polynómu vedie k dvom jednoduchším rovniciam, ktoré je možné vynásobiť tak, aby vznikol pôvodný polynóm:
6x2 + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
V tomto prípade sú faktormi pôvodnej rovnice (2x + 3) a (3x + 2) 6x2 +13x+6.
Krok 3. Skontrolujte svoju prácu
Vynásobte faktory, ktoré máte. Potom skombinujte podobné výrazy a máte hotovo. Začnite s:
(2x + 3) (3x + 2)
Skúsme znásobiť výrazy pomocou PLDT (prvý - zvonka - vnútri - posledný), výsledkom čoho je:
6x2 + 4x + 9x + 6
Odtiaľto môžeme sčítať 4x a 9x, pretože sú ako pojmy. Vieme, že naše faktory sú správne, pretože dostaneme pôvodnú rovnicu:
6x2 + 13x + 6
Metóda 1 zo 6: Skúška a chyba
Ak máte pomerne jednoduchý polynóm, môžete byť schopní nájsť faktory sami tým, že sa na ne pozriete. Mnoho matematikov napríklad po cvičení príde na to, že rovnica 4x2 + 4x + 1 má faktor (2x + 1) a (2x + 1) len tým, že sa na to často pozeráte. (To samozrejme nebude jednoduché pre komplikovanejšie polynómy). V tomto prípade použijeme menej často používanú rovnicu:
3x2 + 2x - 8
Krok 1. Napíšte zoznam faktorov výrazu a a výrazu c
Použitie formátu rovnice osi2 + bx + c = 0, identifikujte výrazy aac a napíšte faktory, ktoré oba výrazy majú. Za 3x2 + 2x - 8, čo znamená:
a = 3 a má súbor faktorov: 1 * 3
c = -8 a má štyri sady faktorov: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 a -1 * 8.
Krok 2. Napíšte dve sady zátvoriek s prázdnymi medzerami
Vytvorené medzery vyplníte konštantami pre každú rovnicu:
(x) (x)
Krok 3. Vyplňte medzery pred x možnými pármi faktorov pre hodnotu a
Pre výraz a v našom prípade 3x2, pre náš príklad existuje iba jedna možnosť:
(3x) (1x)
Krok 4. Vyplňte dve medzery po x pármi faktorov pre konštantu
Predpokladajme, že vyberieme 8 a 1. Napíšte do nich:
(3x
Krok 8.)(
Krok 1
Krok 5. Určte znamienko (plus alebo mínus) medzi premennou x a číslom
V závislosti od znamienok v pôvodnej rovnici môže byť možné hľadať znaky pre konštanty. Predpokladajme, že tieto dve konštanty nazývame h a k pre naše dva faktory:
Ak sekera2 + bx + c potom (x + h) (x + k)
Ak sekera2 - bx - c alebo sekera2 + bx - c potom (x - h) (x + k)
Ak sekera2 - bx + c potom (x - h) (x - k)
V našom prípade 3x2 + 2x - 8, znaky sú: (x - h) (x + k), čo nám dáva dva faktory:
(3x + 8) a (x - 1)
Krok 6. Otestujte svoje voľby pomocou násobenia first-out-in-last (PLDT)
Prvým rýchlym testom je zistiť, či stredný termín má aspoň správnu hodnotu. Ak nie, možno ste vybrali nesprávne c faktory. Otestujme našu odpoveď:
(3x + 8) (x - 1)
Násobením získame:
3x2 - 3x + 8x - 8
Zjednodušením tejto rovnice pridaním podobných výrazov (-3x) a (8x) získame:
3x2 - 3x + 8x - 8 = 3x2 + 5x - 8
Teraz vieme, že sme museli použiť nesprávne faktory:
3x2 + 5x - 8 3x2 + 2x - 8
Krok 7. V prípade potreby zmeňte svoj výber
V našom prípade vyskúšajme 2 a 4 namiesto 1 a 8:
(3x + 2) (x - 4)
Teraz je náš výraz c -8, ale náš vonkajší/vnútorný produkt (3x * -4) a (2 * x) je -12x a 2x, čo v kombinácii nevytvorí správny výraz b +2x.
-12x + 2x = 10x
10x 2x
Krok 8. V prípade potreby obráťte objednávku
Skúsme vymeniť 2 a 4:
(3x + 4) (x - 2)
Teraz je náš výraz c (4 * 2 = 8) správny, ale vonkajší/vnútorný súčin je -6x a 4x. Ak ich spojíme:
-6x + 4x = 2x
2x -2x Sme dosť blízko k 2x, ktoré hľadáme, ale znamenie je nesprávne.
Krok 9. V prípade potreby značky ešte raz skontrolujte
Použijeme rovnaké poradie, ale vymeníme rovnice so znamienkom mínus:
(3x - 4) (x + 2)
Teraz výraz c nie je žiadny problém a súčasný vonkajší/vnútorný súčin je (6x) a (-4x). Pretože:
6x - 4x = 2x
2x = 2x Teraz môžeme použiť kladné číslo 2x z pôvodného problému. To musia byť správne faktory.
Metóda 2 zo 6: Rozklad
Táto metóda identifikuje všetky možné faktory výrazov a a c a použije ich na nájdenie správnych faktorov. Ak sú čísla príliš veľké alebo sa vám zdá hádanie časovo náročné, použite túto metódu. Použime príklad:
6x2 + 13x + 6
Krok 1. Vynásobte výraz a výrazom c
V tomto prípade a je 6 a c je tiež 6.
6 * 6 = 36
Krok 2. Získajte výraz b faktoringom a testovaním
Hľadáme dve čísla, ktoré sú faktormi produktu a * c, ktoré sme identifikovali a tiež spájajú s výrazom b (13).
4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
Krok 3. Nahraďte dve čísla, ktoré dostanete do svojej rovnice v dôsledku pridania výrazu b
Použme k a h na zobrazenie dvoch čísel, ktoré máme, 4 a 9:
sekera2 + kx + hx + c
6x2 + 4x + 9x + 6
Krok 4. Polynóm rozdeľte do skupín
Usporiadajte rovnice tak, aby ste mohli vziať najväčší spoločný faktor prvého a druhého výrazu. Skupina faktorov musí byť rovnaká. Pridajte najväčší spoločný faktor a umiestnite ho do zátvorky vedľa skupiny faktorov; výsledkom sú vaše dva faktory:
6x2 + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)
Metóda 3 zo 6: Trojitá hra
Podobne ako pri rozkladnej metóde, metóda triple play skúma možné faktory vynásobenia pojmov a a c a použitia hodnoty b. Skúste použiť túto vzorovú rovnicu:
8x2 + 10x + 2
Krok 1. Vynásobte výraz a výrazom c
Rovnako ako metóda analýzy, aj toto nám pomôže identifikovať kandidátov na výraz b. V tomto prípade a je 8 a c je 2.
8 * 2 = 16
Krok 2. Nájdite dve čísla, ktoré po vynásobení číslami vygenerujú toto číslo s celkovým súčtom rovnajúcim sa výrazu b
Tento krok je rovnaký ako syntaktická analýza - testujeme a zahodíme kandidátov na konštantu. Súčin výrazov a a c je 16 a výraz c je 10:
2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
Krok 3. Vezmite tieto dve čísla a vyskúšajte ich zapojením do vzorca pre tri hry
Vezmite naše dve čísla z predchádzajúceho kroku - nazvime ich h a k - a zapojte ich do rovnice:
((ax + h) (ax + k))/ a
Získame:
((8x + 8) (8x + 2)) / 8
Krok 4. Všimnite si, či sú niektoré z dvoch výrazov v čitateľovi deliteľné a
V tomto prípade sme videli, či (8x + 8) alebo (8x + 2) je deliteľné číslom 8. (8x + 8) je deliteľné 8, takže tento výraz rozdelíme na a a ostatné faktory necháme na pokoji.
(8x + 8) = 8 (x + 1)
Termín v zátvorkách je to, čo zostane po delení výrazom a.
Krok 5. Vezmite najväčší spoločný faktor (GCF) jedného alebo oboch výrazov, ak nejaké existujú
V tomto prípade má druhý člen GCF 2, pretože 8x + 2 = 2 (4x + 1). Skombinujte tento výsledok s výrazom, ktorý ste získali z predchádzajúceho kroku. Toto sú faktory vo vašej rovnici.
2 (x + 1) (4x + 1)
Metóda 4 zo 6: Rozdiel odmocnín
Niektoré koeficienty v polynómoch môžu byť „štvorce“alebo súčin dvoch čísel. Identifikácia týchto štvorcov vám umožní rýchlejšie rozdeliť viacnásobné polynómy. Skúste túto rovnicu:
27x2 - 12 = 0
Krok 1. Ak je to možné, odstráňte najväčší spoločný faktor
V tomto prípade vidíme, že 27 a 12 sú deliteľné 3, takže dostaneme:
27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4)
Krok 2. Identifikujte, či sú koeficienty vašej rovnice štvorcové čísla
Ak chcete použiť túto metódu, musíte byť schopní vziať druhú odmocninu oboch výrazov. (Upozorňujeme, že záporné znamienko budeme ignorovať - pretože tieto čísla sú štvorce, môžu byť súčinom dvoch kladných alebo záporných čísel)
9x2 = 3x * 3x a 4 = 2 * 2
Krok 3. Pomocou odmocniny, ktorú ste dostali, napíšte faktory
Z vyššie uvedeného kroku vezmeme hodnoty a a c - a = 9 a c = 4, potom nájdeme druhú odmocninu - a = 3 a c = 2. Výsledkom je koeficient faktorovej rovnice:
27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)
Metóda 5 zo 6: Kvadratický vzorec
Ak všetko ostatné zlyhá a rovnicu nie je možné započítať celú, použite kvadratický vzorec. Skúste tento príklad:
X2 + 4x + 1 = 0
Krok 1. Zadajte požadované hodnoty do kvadratického vzorca:
x = -b ± (b2 - 4ac)
2a
Dostaneme rovnicu:
x = -4 ± (42 - 4•1•1) / 2
Krok 2. Nájdite hodnotu x
Získate dve hodnoty. Ako je uvedené vyššie, dostávame dve odpovede:
x = -2 + (3) alebo x = -2 -(3)
Krok 3. Na nájdenie faktorov použite svoju hodnotu x
Pripojte hodnoty x, ktoré máte, do dvoch polynómových rovníc ako konštanty. Výsledkom sú vaše faktory. Ak svoje odpovede nazveme h a k, zapíšeme tieto dva faktory nasledovne:
(x - h) (x - k)
V tomto prípade je naša konečná odpoveď:
(x - (-2 + (3)) (x - (-2 - (3)) = (x + 2 - (3)) (x + 2 + (3))
Metóda 6 zo 6: Použitie kalkulačky
Ak máte dovolené používať kalkulačku, grafická kalkulačka výrazne uľahčuje proces faktoringu, najmä pre štandardizované testy. Tieto pokyny sú pre grafickú kalkulačku TI. Použijeme príklad rovnice:
y = x2 x 2
Krok 1. Zadajte svoju rovnicu do kalkulačky
Použijete faktoring rovnice, ktorá je na obrazovke napísaná [Y =].
Krok 2. Vytvorte si graf rovnice pomocou kalkulačky
Keď zadáte svoju rovnicu, stlačte [GRAF] - uvidíte hladkú krivku, ktorá predstavuje vašu rovnicu (a tvar je krivka, pretože používame polynómy).
Krok 3. Nájdite miesto, kde sa krivka pretína s osou x
Pretože polynómové rovnice sa zvyčajne píšu ako os2 + bx + c = 0, táto priesečník je druhou hodnotou x, ktorá spôsobuje, že rovnica je nulová:
(-1, 0), (2, 0)
x = -1, x = 2
Ak nemôžete pohľadom na graf identifikovať, kde sa graf pretína s osou x, stlačte [2.] a potom [TRACE]. Stlačte [2] alebo zvoľte nulu. Presuňte kurzor doľava od križovatky a stlačte [ENTER]. Presuňte kurzor na pravú stranu križovatky a stlačte [ENTER]. Presuňte kurzor čo najbližšie k križovatke a stlačte [ENTER]. Kalkulačka nájde hodnotu x. Urobte to aj pre ostatné križovatky
Krok 4. Pripojte hodnotu x získanú z predchádzajúceho kroku do dvoch faktoricových rovníc
Ak by sme pomenovali obe naše x hodnoty h a k, rovnice, ktoré by sme použili, by boli:
(x - h) (x - k) = 0
Naše dva faktory sú teda tieto:
(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)
Tipy
- Ak máte kalkulačku (graf) TI-84, existuje program s názvom SOLVER, ktorý vyrieši vaše kvadratické rovnice. Tento program vyrieši polynómy akéhokoľvek stupňa.
- Ak nie je napísaný výraz, koeficient je 0. Je vhodné prepisovať rovnicu, ak je to tak, napríklad: x2 + 6 = x2 +0x+6.
- Ak ste rozdelili svoj polynóm pomocou kvadratického vzorca a dostali ste odpoveď v koreňoch, možno budete chcieť hodnotu x previesť na kontrolu.
- Ak výraz nemá žiadny písaný koeficient, koeficient je 1, napríklad: x2 = 1x2.
- Po dostatočnom cvičení budete nakoniec môcť faktorovať polynómy vo svojej hlave. Kým to zvládnete, vždy si napíšte postup.
