Rýchlosť je definovaná ako rýchlosť objektu v určitom smere. V mnohých situáciách na nájdenie rýchlosti môžeme použiť rovnicu v = s/t, kde v je rýchlosť, s je celková vzdialenosť, o ktorú sa objekt posunul z počiatočnej polohy, a t sa rovná času. Táto metóda však dáva iba „priemernú“hodnotu rýchlosti objektu nad jeho posunutím. Pomocou kalkulu môžete vypočítať rýchlosť objektu v ľubovoľnom bode pozdĺž jeho posunu. Táto hodnota sa nazýva „okamžitá rýchlosť“a dá sa vypočítať podľa rovnice v = (ds)/(dt), alebo inými slovami, je derivácia rovnice pre priemernú rýchlosť objektu.
Krok
Metóda 1 z 3: Výpočet okamžitej rýchlosti
Krok 1. Začnite rovnicou pre rýchlosť posunu objektu
Aby sme získali hodnotu okamžitej rýchlosti objektu, musíme mať najskôr rovnicu, ktorá popisuje jeho polohu (z hľadiska jeho posunu) v danom časovom bode. To znamená, že rovnica musí mať premennú s (ktorý stojí samostatne) na jednej strane a t na druhej strane (ale nie nevyhnutne samostatný) takto:
s = -1,5 t2+10t+4
-
V rovnici sú tieto premenné:
-
-
Posun = s. To je vzdialenosť, ktorú objekt prejde od svojho východiskového bodu. Ak napríklad predmet prejde 10 metrov dopredu a 7 metrov späť, celková prejdená vzdialenosť je 10 - 7 = 3 metre (nie 10 + 7 = 17 metrov).
-
Čas = t. Táto premenná je sama osebe vysvetľujúca. Obvykle sa vyjadruje v sekundách. # Vezmite deriváciu rovnice. Derivácia rovnice je ďalšou rovnicou, ktorá môže dávať hodnotu sklonu od určitého bodu. Ak chcete nájsť deriváciu vzorca na posunutie objektu, odvodte funkciu pomocou nasledujúceho všeobecného pravidla: Ak y = a*x , Derivát = a*n*xn-1. Toto pravidlo platí pre každú zložku, ktorá sa nachádza na strane „t“rovnice.
Vypočítajte okamžitú rýchlosť, krok 2
-
-
- Inými slovami, začnite zostupne na strane „t“rovnice zľava doprava. Zakaždým, keď dosiahnete hodnotu „t“, odčítajte 1 od hodnoty exponentu a celok vynásobte pôvodným exponentom. Akékoľvek konštanty (premenné, ktoré neobsahujú „t“) budú stratené, pretože sú vynásobené číslom 0. Tento proces nie je taký náročný, ako by si niekto mohol myslieť, odvodíme si ako príklad rovnicu v predchádzajúcom kroku:
s = -1,5 t2+10t+4
(2) -1,5 t(2-1)+ (1) 10 t1 - 1 + (0) 4t0
-3t1 + 10t0
- 3t + 10
Krok 2. Nahraďte premennú „s“hodnotou „ds/dt
„Ak chcete ukázať, že vaša nová rovnica je derivátom predchádzajúcej rovnice, nahraďte„ s “výrazom„ ds/dt “. Technicky tento zápis znamená„ derivácia s vzhľadom na t. “Jednoduchší spôsob, ako to pochopiť, je ds /dt je hodnota sklonu (sklonu) v ktoromkoľvek bode prvej rovnice, napríklad na určenie sklonu čiary nakreslenej z rovnice s = -1,5 t2 + 10t + 4 pri t = 5, môžeme hodnotu „5“zapojiť do derivačnej rovnice.
- V použitom príklade by prvá derivačná rovnica teraz vyzerala takto:
ds/s = -3t + 10
Krok 3. Pripojte hodnotu t do novej rovnice, aby ste získali hodnotu okamžitej rýchlosti
Teraz, keď máte derivačnú rovnicu, je ľahké nájsť okamžitú rýchlosť v ľubovoľnom bode. Všetko, čo musíte urobiť, je vybrať hodnotu t a zapojiť ju do derivačnej rovnice. Napríklad, ak chcete nájsť okamžitú rýchlosť na t = 5, môžete hodnotu t nahradiť „5“v derivačnej rovnici ds/dt = -3 + 10. Potom rovnicu vyriešte takto:
ds/s = -3t + 10
ds/s = -3 (5) + 10
ds/s = -15 + 10 = - 5 metrov za sekundu
Uvedená jednotka je "meter/sekundu". Pretože to, čo vypočítame, je výtlak v metroch a čas v sekundách (sekundách) a rýchlosť vo všeobecnosti je posun v určitom čase, je táto jednotka vhodné použiť
Metóda 2 z 3: Grafické odhadnutie okamžitej rýchlosti
Krok 1. Nakreslite graf posunu objektu v priebehu času
V vyššie uvedenej časti je derivácia uvedená ako vzorec na nájdenie sklonu v danom bode pre rovnicu, z ktorej odvodzujete. V skutočnosti, ak v grafe reprezentujete posunutie objektu ako čiaru, „sklon čiary vo všetkých bodoch sa rovná hodnote jej okamžitej rýchlosti v tomto bode“.
- Na opis posunu objektu použite x na reprezentáciu času a y na znázornenie posunu. Potom nakreslite body a zapojte hodnotu t do svojej rovnice, čím získate hodnotu s pre svoj graf, označte t, s v grafe ako (x, y).
- Graf môže siahať pod os x. Ak čiara predstavujúca pohyb vášho objektu siaha pod os x, znamená to, že sa predmet posunul dozadu z pôvodnej polohy. Váš graf vo všeobecnosti nedosiahne zadnú časť osi y - pretože nemeriame rýchlosť objektu, ktorý sa pohybuje okolo!
Krok 2. Vyberte v čiare priľahlý bod P a Q
Aby sme získali sklon čiary v bode P, môžeme použiť trik s názvom „brať limit“. Prijatie limitu zahŕňa dva body (P a Q, bod v blízkosti) na zakrivenej čiare a nájdenie sklonu čiary ich mnohokrát prepojením, kým sa vzdialenosti P a Q nepriblížia.
Povedzme, že výtlačná čiara objektu obsahuje hodnoty (1, 3) a (4, 7). V tomto prípade, ak chceme nájsť sklon v bode (1, 3), môžeme určiť (1, 3) = P a (4, 7) = Otázka.
Krok 3. Nájdite sklon medzi P a Q
Sklon medzi P a Q je rozdiel v hodnotách y pre P a Q pozdĺž rozdielu hodnôt osi x pre P a Q. Inými slovami, H = (rQ - rP)/(XQ - XP), kde H je sklon medzi dvoma bodmi. V našom prípade je hodnota sklonu medzi P a Q
H = (rQ- rP)/(XQ- XP)
H = (7 - 3)/(4 - 1)
H = (4)/(3) = 1.33
Krok 4. Opakujte niekoľkokrát, presuňte Q bližšie k P
Vaším cieľom je zmenšiť vzdialenosť medzi P a Q tak, aby sa podobala na bodku. Čím bližšia je vzdialenosť medzi P a Q, tým bližší je sklon čiary v bode P. Vykonajte to niekoľkokrát s rovnicou použitou ako príklad pomocou bodov (2, 4,8), (1,5, 3,95) a (1,25, 3,49) ako Q a počiatočný bod (1, 3) ako P:
Q = (2, 4,8):
H = (4,8 - 3)/(2 - 1)
H = (1,8)/(1) = 1.8
Q = (1,5, 3,95):
H = (3,95 - 3)/(1,5 - 1)
H = (0,95)/(0,5) = 1.9
Q = (1,25; 3,49):
H = (3,49 - 3)/(1,25 - 1)
H = (0,49)/(25) = 1.96
Krok 5. Odhadnite sklon čiary na veľmi malú vzdialenosť
Ako sa Q blíži k P, H sa približuje k hodnote sklonu bodu P. Nakoniec, keď dosiahne veľmi malú hodnotu, H sa rovná sklonu P. Pretože nemôžeme merať ani počítať veľmi malé vzdialenosti, svah na P môžeme odhadnúť až potom, ako je z bodu, o ktorý sa pokúšame, jasný.
- V tomto prípade, keď sa posunieme Q bližšie k P, dostaneme hodnoty 1,8, 1,9 a 1,96 pre H. Pretože tieto čísla sú blízke 2, môžeme povedať, že 2 je približný sklon P.
- Nezabudnite, že sklon v ktoromkoľvek danom bode na čiare sa rovná derivácii rovnice čiary. Pretože použitá čiara ukazuje posunutie objektu v priebehu času, a pretože ako sme videli v predchádzajúcej časti, okamžitá rýchlosť objektu je derivátom jeho posunu v danom bode, môžeme tiež uviesť, že „2 metre za sekundu "je približná hodnota okamžitej rýchlosti pri t = 1.
Metóda 3 z 3: Vzorové otázky
Krok 1. Nájdite hodnotu okamžitej rýchlosti pri t = 4 z rovnice posunu s = 5t3 - 3t2 +2t+9.
Tento problém je rovnaký ako príklad v prvej časti, okrem toho, že táto rovnica je rovnicou kocky, nie rovnicou moci, takže tento problém môžeme vyriešiť rovnakým spôsobom.
- Najprv vezmeme deriváciu rovnice:
- Potom zadajte hodnotu t (4):
s = 5t3- 3t2+2t+9
s = (3) 5t(3 - 1) - (2) 3t(2 - 1) + (1) 2t(1 - 1) + (0) 9t0 - 1
15t(2) - 6t(1) + 2t(0)
15t(2) - 6t + 2
s = 15t(2)- 6t + 2
15(4)(2)- 6(4) + 2
15(16) - 6(4) + 2
240 - 24 + 2 = 22 metrov za sekundu
Krok 2. Pomocou grafického odhadu nájdite okamžitú rýchlosť na (1, 3) pre rovnicu posunu s = 4t2 - t.
Na tento problém použijeme (1, 3) ako bod P, ale musíme definovať ďalší bod susediaci s týmto bodom ako bod Q. Potom stačí určiť hodnotu H a urobiť odhad.
- Najprv nájdite najskôr hodnotu Q na t = 2, 1,5, 1,1 a 1,01.
- Potom určte hodnotu H:
- Pretože hodnota H je veľmi blízko 7, môžeme to konštatovať 7 metrov za sekunduje približná okamžitá rýchlosť pri (1, 3).
s = 4t2- t
t = 2:
s = 4 (2)2- (2)
4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, takže Q = (2, 14)
t = 1,5:
s = 4 (1,5)2 - (1.5)
4 (2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, takže Q = (1,5, 7,5)
t = 1,1:
s = 4 (1,1)2 - (1.1)
4 (1,21) - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74, takže Q = (1,1, 3,74)
t = 1,01:
s = 4 (1,01)2 - (1.01)
4 (1.0201) - 1,01 = 4,0804 - 1,01 = 3,0704, takže Q = (1,01, 3,0704)
Q = (2, 14):
H = (14 - 3)/(2 - 1)
H = (11)/(1) =
Krok 11.
Q = (1,5, 7,5):
H = (7,5 - 3)/(1,5 - 1)
H = (4,5)/(. 5) =
Krok 9.
Q = (1,1, 3,74):
H = (3,74 - 3)/(1,1 - 1)
H = (0,74)/(. 1) = 7.3
Q = (1,01, 3,0704):
H = (3,0704 - 3)/(1,01 - 1)
H = (0,0704)/(0,01) = 7.04
Tipy
- Ak chcete nájsť hodnotu zrýchlenia (zmena rýchlosti v čase), pomocou metódy v prvej časti získajte rovnicu pre deriváciu funkcie posunu. Potom vytvorte odvodenú rovnicu znova, tentoraz z odvodenej rovnice. To vám poskytne rovnicu na nájdenie zrýchlenia v danom čase, stačí zadať svoju časovú hodnotu.
- Rovnica vzťahujúca sa na hodnotu Y (posunutie) k X (čas) môže byť veľmi jednoduchá, napríklad Y = 6x + 3. V tomto prípade je hodnota sklonu konštantná a na jej výpočet nie je potrebné nájsť deriváciu., kde podľa rovnice priamky sa Y = mx + b bude rovnať 6.
- Posun je podobný vzdialenosti, ale má smer, takže posunutie je vektorové množstvo, zatiaľ čo vzdialenosť je skalárne množstvo. Hodnota posunu môže byť záporná, ale vzdialenosť bude vždy kladná.
