Aj keď sa to niekedy môže zdať skľučujúce, problém s odmocninou nie je v skutočnosti také ťažké vyriešiť. Jednoduché problémy s odmocninou je obvykle možné vyriešiť rovnako jednoducho ako základné problémy s násobením a delením. Pri zložitejších otázkach to vyžaduje trochu úsilia navyše. Ale správnym prístupom je možné vyriešiť akýkoľvek ťažký problém. Prostredníctvom tohto článku vám pomôžeme vyriešiť problémy s odmocninou v niekoľkých jednoduchých krokoch.
Krok
Časť 1 z 3: Pochopenie štvorcov a odmocnin
Krok 1. Štvorec je číslo vynásobené číslom samotným
Na pochopenie druhej odmocniny je dobré najskôr porozumieť významu druhej odmocniny. Jednoducho povedané, štvorec je číslo vynásobené číslom samotným. Napríklad 3 na druhú je 3 krát 3 = 9 a 9 na druhú je 9 krát 9 = 81. Štvorec je reprezentovaný malými 2 v pravom hornom rohu čísla na druhú - takto: 32, 92, 1002, atď.
Skúste porovnať niektoré ďalšie čísla, aby ste otestovali tento koncept. Pamätajte si, že delenie na druhú je násobenie čísla samo o sebe. Môžete dokonca dať do štvorcov záporné čísla. Výsledkom bude vždy kladné číslo. Napríklad -82 = -8 × -8 = 64.
Krok 2. Druhá odmocnina je recipročná hodnota odmocniny
Symbol pre odmocninu (√, známy tiež ako „radikálny“symbol) je v zásade opakom symbolu 2. Keď nájdete radikál, položte si otázku: aké číslo, keby bolo štvorcové, by viedlo k číslu v radikáli? Ak sa napríklad pozriete na √ (9), nájdite číslo, ktoré keď je druhou mocninou, je deväť. Odpoveď je teda „tri“, pretože 32 = 9.
-
Ako ďalší príklad skúsme nájsť druhú odmocninu z 25 (√ (25)). To znamená, že hľadáme číslo, ktoré keď bude na druhú, výsledok bude 25. Pretože 52 = 5 × 5 = 25, potom (25) =
Krok 5..
-
Odmocninu možno tiež považovať za „zrušenie“štvorca. Ak napríklad chceme nájsť (64), odmocninu zo 64, potom uvažujme o 64 ako 82. Pretože symbol odmocniny v podstate „neguje“symbol druhej mocniny, (64) = (82) =
Krok 8..
Krok 3. Poznáte rozdiel medzi dokonalými a nedokonalými štvorcami
Doteraz boli výsledky našich výpočtov druhej odmocniny celé čísla. Otázky, s ktorými sa neskôr stretnete, nebudú také jednoduché, budú sa nachádzať otázky s odpoveďami na desatinné čísla s pár číslicami za čiarkou. Čísla, ktoré sú zaokrúhlené na druhú (tj. Nie sú zlomkové alebo desatinné), sa označujú aj ako „dokonalé štvorce“. Všetky predchádzajúce príklady (9, 25 a 64) sú dokonalé štvorce, pretože ak sú štvorce, výsledkom je celé číslo (3, 5 a 8).
Na druhej strane čísla, ktoré nie sú zaokrúhlené po tom, čo boli umocnené na druhú, sú „nedokonalé štvorce“. Po umocnení je výsledkom spravidla zlomkové alebo desatinné číslo. Niekedy dokonca čísla vyzerajú veľmi komplikovane, napríklad (13) = 3, 605551275464…
Krok 4. Zapamätajte si štvorec čísiel 1-12
Ako už viete, vycentrovanie perfektného štvorcového čísla je veľmi jednoduché. Zapamätanie si štvorcov čísiel 1-12 môže byť veľmi užitočné, pretože tieto čísla sa v probléme objavia často. Pri práci na týchto otázkach tak ušetríte čas. Prvých 12 štvorcových čísel je::
-
12 = 1 × 1 =
Krok 1.
-
22 = 2 × 2 =
Krok 4.
-
32 = 3 × 3 =
Krok 9.
-
42 = 4 × 4 =
Krok 16.
-
52 = 5 × 5 =
Krok 25.
- 62 = 6 × 6 = 36
- 72 = 7 × 7 = 49
- 82 = 8 × 8 = 64
- 92 = 9 × 9 = 81
- 102 = 10 × 10 = 100
- 112 = 11 × 11 = 121
- 122 = 12 × 12 = 144
Krok 5. Zjednodušte druhú odmocninu odstránením dokonalých štvorcov
Nájdenie druhej odmocniny nedokonalého čísla druhej mocniny môže byť náročné, najmä ak nepoužívate kalkulačku. Číslo, ktoré sa má vyčísliť na druhú, je však možné zjednodušiť, aby bolo jednoduchšie ho vypočítať. Za týmto účelom jednoducho rozdeľte číslo vnútri radikálu na niekoľko faktorov, potom odstráňte odmocninu z perfektných štvorcových čísel a napíšte odpoveď mimo radikál. Túto metódu je veľmi jednoduché vykonať - pre lepšie pochopenie uvádzame ďalšie vysvetlenie:
- Povedzme, že chceme vypočítať odmocninu z 900. Takže jednoducho rozdeľte 900 na jej faktory. „Faktory“sú čísla, ktoré je možné vynásobiť spolu a vytvoriť tak ďalšie číslo. Napríklad číslo 6 možno získať vynásobením a 1 × 6 a 2 × 3, takže faktory 6 sú 1, 2, 3 a 6.
- S ohľadom na tento princíp rozoberme 900 na jeho faktory. Na začiatok napíšeme 900 ako 9 × 100. Keďže 9 je perfektný štvorec, druhú odmocninu zo 100 môžeme vziať oddelene. (9 × 100) = (9) × (100) = 3 × (100). Inými slovami, (900) = 3√(100).
-
Môžeme to ďalej zjednodušiť rozdelením 100 na jeho činitele, konkrétne 25 a 4. (100) = (25 × 4) = (25) × (4) = 5 × 2 = 10. Preto sa dá vypočítať (900) = 3 (10) =
Krok 30..
Krok 6. Na odmocninu záporného čísla použite imaginárne číslo
Zamyslite sa nad tým, aké číslo, ak je výsledok na druhú, je -16? Odpoveď nie Všetky čísla umocnené na druhú sú výsledkom vždy kladné, pretože sú záporné (-), pri vynásobení záporným výsledkom je kladné (+). Aby sme teda vygenerovali záporné číslo, musíme nahradiť záporné číslo imaginárnym číslom (zvyčajne vo forme písmen alebo symbolov). Napríklad premenná "i" sa spravidla používa pre odmocninu z -1. Vymyslené číslo je vždy na druhej odmocnine záporného čísla.
Je potrebné poznamenať, že hoci imaginárne čísla nie sú nikdy reprezentované číslami, stále ich možno považovať za čísla rôznymi spôsobmi. Napríklad druhá odmocnina záporného čísla môže byť druhá mocnina, aby sa odstránila druhá odmocnina. Napríklad i2 = - 1
Časť 2 z 3: Použite algoritmus štýlu s delenou divíziou
Krok 1. Vyriešte problémy s odmocninou, ako sú problémy s delením
Aj keď sú časovo náročné, náročné problémy s odmocninou možné vyriešiť bez kalkulačky. Na tento účel použijeme metódu (alebo algoritmus) podobnú deleniu na dlhý zásobník.
- Začnite tým, že napíšete odmocninu ako pri dlhom delení. Ako príklad problému nájdite koreň 6, 45, čo nie je celé číslo. Najprv napíšeme radikálny symbol (√), potom pod neho napíšeme číslo, ktorého chceme zobrať druhou mocninu. Potom nakreslite čiaru nad číslami, rovnako ako delenie dlhého stohovania. Teraz symbol „√“vyzerá, že má chvost s číslom 6,45 v spodnej časti.
- Zapíšeme čísla nad problém, takže ponechajte prázdne miesto.
Krok 2. Zoskupte číslice čísla do dvojíc
Najprv zoskupte číslice čísla pod radikálom do dvojíc, začínajúc desatinnou čiarkou. Medzi pármi vytvorte nejaký druh značky (bodka, čiarka, čiara atď.), Aby ste ich mohli ľahko sledovať.
V príklade problému 6, 45 budú rozdelené na 6-, 45-00. Nezabudnite, že vľavo sú „zostávajúce“číslice - to nie je problém.
Krok 3. Nájdite najväčšie číslo, ktorého štvorcová hodnota je menšia alebo rovná prvej skupine
Začnite prvým číslom v skupine vľavo. Vyberte najväčšie číslo, ktorého štvorcová hodnota je v skupine menšia alebo rovnaká. Ak je napríklad skupina 37, zvoľte 6, pretože 62 = 36 <37, ale 72 = 49> 37. Napíšte toto číslo nad prvú skupinu. Toto číslo je prvou číslicou vašej odpovede.
-
V príklade problému je prvá skupina 6-, 45-00 je 6. Najväčšie číslo, ktoré je menšie alebo rovné 6, keď je druhá mocnina, je
Krok 2. - 22 = 4. Napíšte číslo „2“nad 6 a chvost je radikál.
Krok 4. Vynásobte číslo, ktoré ste si práve zapísali, potom ho znížte a odpočítajte
Vezmite prvú číslicu svojej odpovede (napísanú nad radikál) a vynásobte ju. Napíšte odpoveď pod prvú skupinu a odčítajte, aby ste zistili rozdiel. Vypustite ďalšiu skupinu vpravo od rozdielu, ktorý ste práve vypočítali. Nakoniec napíšte poslednú číslicu vynásobenia prvej číslice svojej odpovede vľavo a napravo nechajte prázdne miesto.
V príklade je zdvojnásobené číslo 2 (prvá číslica predchádzajúcej odpovede). 2 × 2 = 4. Potom odčítajte 4 od 6 (od prvej skupiny). 6 - 4 výsledok je 2. Ďalej znížte nasledujúcu skupinu (45) a dostaneme 245. Nakoniec napíšte číslo 4 opäť naľavo a napravo nechajte malé miesto takto: 4_
Krok 5. Vyplňte prázdne miesto
Pridajte číslice napravo od čísla, ktoré ste napísali vľavo. Vyberte číslicu, ktorá pri vynásobení týmto novým číslom dáva najväčšiu hodnotu, ale stále je menšia alebo rovná sa „odvodenému číslu“. Ak je napríklad „odvodené číslo“1700 a číslo vľavo je 40_, číslo, ktoré by ste mali zadať, je „4“, pretože 404 × 4 = 1616 <1700, zatiaľ čo 405 × 5 = 2025. Číslo nájdené v tento krok je druhou číslicou vašej odpovede, preto ju napíšte nad radikálny symbol.
-
V príklade problému budeme hľadať číslo vedľa 4_ × _, ktorého odpoveď je najväčšie číslo, ale je menšie alebo rovné 245. Odpoveď je
Krok 5.. 45 × 5 = 225, zatiaľ čo 46 × 6 = 276.
Krok 6. Na nájdenie odpovede naďalej používajte čísla „prázdneho miesta“
Pokračujte v dlhom stohovacom delení, kým rozdiel medzi odčítaním odvodených čísel nie je nulový alebo kým sa nezíska pomerne presné číslo. Keď skončíte, čísla, ktoré ste použili na vyplnenie medzier v každom kroku (plus úplne prvé číslo, ktoré ste použili), tvoria každú číslicu vašej odpovede.
-
V príklade problému odčítame 245 od 220 a dostaneme 20. Ďalej znížime nasledujúcu skupinu číslic 00 a dostaneme 2000. Vynásobte číslo nad symbolom radikálu a dostanete 25 × 2 = 50. Na vyplnenie na prázdnych miestach pri 50_ × _ =/<2 000 dostaneme číslo
Krok 3. Teraz máme „253“nad radikálnym symbolom - tento postup zopakujte znova a na ďalšej číslici dostanete 9.
Krok 7. Odstráňte desatinnú čiarku z pôvodu
Ak chcete získať konečnú odpoveď, vložte desatinnú čiarku na správne miesto. Je to jednoduché - desatinnú čiarku vložte do súradnice s desatinnou čiarkou. Napríklad číslo pod radikálom je 49, 8, takže medzi čísla nad 8 a 9 vložte desatinnú čiarku.
V prípade príkladu, ak je číslo pod radikálom 6, 45, potom bude desatinná čiarka v súlade medzi číslicami 2 a 5. To znamená, že konečná odpoveď je 2, 539.
Časť 3 z 3: Rýchlo odhadnite nedokonalé štvorce
Krok 1. Nájdite nedokonalý štvorec pomocou aproximácie
Keď si zapamätáte dokonalé štvorce, nájdenie nedokonalých štvorcov bude oveľa jednoduchšie. Ide o to, nájsť perfektný štvorec pred a za číslom, ktoré hľadáte. Potom určte, ktoré z dvoch dokonalých štvorcov je najbližšie k číslu, ktoré hľadáte.
Chceme napríklad nájsť odmocninu zo 40. Perfektné druhé číslo pred a po 40 je 62 a 72, čo je 36 a 49. Keďže 40 je väčšie ako 36 a menšie ako 49, druhá odmocnina zo 40 musí byť medzi 6 a 7. Číslo 40 je bližšie k 36 ako 49, takže druhá odmocnina zo 40 je bližšie k 6. Tu je niekoľko krokov na nájdenie presnej odpovede.
Krok 2. Odhadnite odmocninu na jednu číslicu za čiarkou
Keď ste určili dve dokonalé štvorcové čísla pred a za číslom, ktoré hľadáte, zvyšok je proces nájdenia čísla za čiarkou, ktoré je najbližšie k odpovedi. Začnite odhadovaným jednociferným číslom za čiarkou. Tento postup sa bude opakovať, kým nedostanete odpoveď s požadovanou presnosťou.
V príklade problému je rozumná aproximácia druhej odmocniny 40 6, 4, pretože odpoveď je s najväčšou pravdepodobnosťou bližšie k 6 ako 7.
Krok 3. Vynásobte svoje odhadované číslo samotným číslom
Inými slovami, zadajte svoje približné číslo. Ak budete mať šťastie, výsledkom bude číslo v probléme. Ak nie, pokračujte v sčítaní alebo odčítaní čísel za čiarkou, kým nenájdete štvorec najbližšie k číslu v probléme.
- Vynásobením 6, 4 x 6, 4 získate 6, 4 × 6, 4 = 40, 96, čo je mierne nad 40.
- Pretože bol pôvodný experiment nadbytočný, odpočítajte svoju aproximáciu o jedno desatinné miesto, ktoré je 6, 3 × 6, 3 = 39, 69. Tento výsledok je mierne pod číslom v probléme. To znamená, že druhá odmocnina zo 40 je medzi 6, 3 a 6, 4. Potom, pretože 39,69 je bližšie k 40, druhá odmocnina zo 40 je tiež bližšie k 6, 3.
Krok 4. Predpovedanie prognóz podľa potreby
Ak si myslíte, že je dostatočne presná, použite svoju odpoveď. Ale ak nie, pokračujte v približnom vzore vyššie, kým nenájdete odpoveď s tromi alebo štyrmi číslicami za čiarkou - každopádne, kým nedosiahnete požadovanú úroveň presnosti.
