3 spôsoby riešenia logaritmov

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Naposledy zmenené: 2024-01-15 08:23

Logaritmy sa môžu zdať ťažko riešiteľné, ale riešenie problémov s logaritmom je v skutočnosti oveľa jednoduchšie, ako by ste si mohli myslieť, pretože logaritmy sú len ďalším spôsobom písania exponenciálnych rovníc. Keď prepíšete logaritmus do známejšej podoby, mali by ste byť schopní to vyriešiť tak, ako by ste to urobili s inou obyčajnou exponenciálnou rovnicou.

Krok

Skôr než začnete: Naučte sa vyjadrovať logaritmické rovnice exponenciálne

Krok 1. Pochopte definíciu logaritmu

Pred riešením logaritmických rovníc musíte pochopiť, že logaritmy sú v zásade ďalším spôsobom písania exponenciálnych rovníc. Presná definícia je nasledovná:

• y = log_b (X)

  Len vtedy, ak: b^r = x

• Nezabudnite, že b je základ logaritmu. Táto hodnota musí spĺňať nasledujúce podmienky:

  • b> 0
  • b sa nerovná 1
• V rovnici je y exponent a x je výsledok výpočtu exponenciály hľadanej v logaritme.

Krok 2. Uvažujte logaritmickú rovnicu

Pri pohľade na rovnicu problému hľadajte základňu (b), exponent (y) a exponenciál (x).

• Príklad:

  5 = log₄(1024)

  • b = 4
  • y = 5
  • x = 1024

Krok 3. Posuňte exponenciál na jednu stranu rovnice

Posuňte hodnotu svojho umocnenia, x, na jednu stranu znamienka rovnosti.

• Napríklad:

  1024 = ?

Krok 4. Zadajte hodnotu exponentu do jeho základne

Vaša základná hodnota, b, musí byť vynásobená rovnakým počtom hodnôt reprezentovaných exponentom y.

• Príklad:

  4 * 4 * 4 * 4 * 4 = ?

  Túto rovnicu možno zapísať aj ako: 4⁵

Krok 5. Prepíšte svoju konečnú odpoveď

Teraz by ste mali byť schopní prepísať logaritmickú rovnicu ako exponenciálnu rovnicu. Znova skontrolujte svoju odpoveď a uistite sa, že obe strany rovnice majú rovnakú hodnotu.

• Príklad:

  4⁵ = 1024

Metóda 1 z 3: Zistenie hodnoty X

Krok 1. Rozdelte logaritmickú rovnicu

Vykonaním reverzného výpočtu presuňte časť rovnice, ktorá nie je logaritmickou rovnicou, na druhú stranu.

• Príklad:

  log₃(x + 5) + 6 = 10

  • log₃(x + 5) + 6 - 6 = 10 - 6
  • log₃(x + 5) = 4

Krok 2. Prepíšte túto rovnicu v exponenciálnej forme

Použite to, čo už viete o vzťahu medzi logaritmickými rovnicami a exponenciálnymi rovnicami, a prepíšte ich v exponenciálnej forme, ktorá je jednoduchšie a ľahšie riešiteľné.

• Príklad:

  log₃(x + 5) = 4

  • Porovnajte túto rovnicu s definíciou [ y = log_b (X)], potom môžete dospieť k záveru, že: y = 4; b = 3; x = x + 5
  • Rovnicu prepíšte ako: b^r = x
  • 3⁴ = x + 5

Krok 3. Nájdite hodnotu x

Akonáhle bude tento problém zjednodušený na základnú exponenciálnu rovnicu, mali by ste byť schopní vyriešiť ho rovnako ako všetky ostatné exponenciálne rovnice.

• Príklad:

  3⁴ = x + 5

  • 3 * 3 * 3 * 3 = x + 5
  • 81 = x + 5
  • 81 - 5 = x + 5 - 5
  • 76 = x

Krok 4. Napíšte svoju konečnú odpoveď

Konečná odpoveď, ktorú získate, keď zistíte hodnotu x, je odpoveďou na váš pôvodný problém s logaritmom.

• Príklad:

  x = 76

Metóda 2 z 3: Zistenie hodnoty X pomocou pravidla logaritmickej sčítania

Krok 1. Pochopte pravidlá pre pridávanie logaritmov

Prvá vlastnosť logaritmov známa ako „pravidlo logaritmického sčítania“uvádza, že logaritmus produktu sa rovná súčtu logaritmov týchto dvoch hodnôt. Napíšte toto pravidlo do rovnice:

• log_b(m * n) = log_b(m) + log_bn)

• Nezabudnite, že musia platiť nasledujúce:

  • m> 0
  • n> 0

Krok 2. Rozdelte logaritmus na jednu stranu rovnice

Pomocou reverzných výpočtov presuňte časti rovnice tak, aby celá logaritmická rovnica ležala na jednej strane, zatiaľ čo ostatné zložky sú na druhej strane.

• Príklad:

  log₄(x + 6) = 2 - log₄(X)

  • log₄(x + 6) + denník₄(x) = 2 - log₄(x) + log₄(X)
  • log₄(x + 6) + denník₄(x) = 2

Krok 3. Aplikujte pravidlo logaritmického pridávania

Ak v rovnici existujú dva logaritmy, môžete ich spojiť dohromady pomocou pravidla logaritmu.

• Príklad:

  log₄(x + 6) + denník₄(x) = 2

  • log₄[(x + 6) * x] = 2
  • log₄(X² + 6x) = 2

Krok 4. Prepíšte túto rovnicu v exponenciálnej forme

Nezabudnite, že logaritmy sú len ďalším spôsobom písania exponenciálnych rovníc. Pomocou logaritmickej definície prepíšte rovnicu do formy, ktorú je možné vyriešiť.

• Príklad:

  log₄(X² + 6x) = 2

  • Porovnajte túto rovnicu s definíciou [ y = log_b (X)], môžete dospieť k záveru, že: y = 2; b = 4; x = x² + 6x
  • Prepíšte túto rovnicu tak, aby: b^r = x
  • 4² = x² + 6x

Krok 5. Nájdite hodnotu x

Keď sa z tejto rovnice stane pravidelná exponenciálna rovnica, použite to, čo viete o exponenciálnych rovniciach, na nájdenie hodnoty x ako obvykle.

• Príklad:

  4² = x² + 6x

  • 4 * 4 = x² + 6x
  • 16 = x² + 6x
  • 16 - 16 = x² + 6x - 16
  • 0 = x² + 6x - 16
  • 0 = (x - 2) * (x + 8)
  • x = 2; x = -8

Krok 6. Napíšte svoje odpovede

V tomto mieste by ste mali mať odpoveď na rovnicu. Svoju odpoveď napíšte na určené miesto.

• Príklad:

  x = 2

• Upozorňujeme, že pre logaritmus nemôžete dať zápornú odpoveď, takže sa môžete odpovede zbaviť x - 8.

Metóda 3 z 3: Zistenie hodnoty X pomocou pravidla logaritmického delenia

Krok 1. Pochopte pravidlo logaritmického delenia

Na základe druhej vlastnosti logaritmov, známej ako „pravidlo logaritmického delenia“, je možné logaritmus delenia prepísať odčítaním logaritmu menovateľa od čitateľa. Napíšte túto rovnicu nasledovne:

• log_b(m/n) = log_b(m) - log_bn)

• Nezabudnite, že musia platiť nasledujúce:

  • m> 0
  • n> 0

Krok 2. Rozdelte logaritmickú rovnicu na jednu stranu

Pred riešením logaritmických rovníc musíte preniesť všetky logaritmické rovnice na jednu stranu znamienka rovnosti. Druhá polovica rovnice musí byť presunutá na druhú stranu. Na vyriešenie použite reverzné výpočty.

• Príklad:

  log₃(x + 6) = 2 + log₃(x - 2)

  • log₃(x + 6) - denník₃(x - 2) = 2 + log₃(x - 2) - log₃(x - 2)
  • log₃(x + 6) - denník₃(x - 2) = 2

Krok 3. Aplikujte pravidlo logaritmického delenia

Ak v rovnici existujú dva logaritmy a jeden z nich je potrebné od druhého odpočítať, môžete a mali by ste použiť pravidlo delenia, aby ste tieto dva logaritmy spojili.

• Príklad:

  log₃(x + 6) - denník₃(x - 2) = 2

  log₃[(x + 6) / (x - 2)] = 2

Krok 4. Napíšte túto rovnicu v exponenciálnej forme

Potom, čo zostane iba jedna logaritmická rovnica, použite logaritmickú definíciu na jej zapísanie v exponenciálnej forme, čím sa log odstráni.

• Príklad:

  log₃[(x + 6) / (x - 2)] = 2

  • Porovnajte túto rovnicu s definíciou [ y = log_b (X)], môžete dospieť k záveru, že: y = 2; b = 3; x = (x + 6) / (x - 2)
  • Rovnicu prepíšte ako: b^r = x
  • 3² = (x + 6) / (x - 2)

Krok 5. Nájdite hodnotu x

Akonáhle je rovnica exponenciálna, mali by ste byť schopní nájsť hodnotu x ako obvykle.

• Príklad:

  3² = (x + 6) / (x - 2)

  • 3 * 3 = (x + 6) / (x - 2)
  • 9 = (x + 6) / (x - 2)
  • 9 * (x - 2) = [(x + 6) / (x - 2)] * (x - 2)
  • 9x - 18 = x + 6
  • 9x - x - 18 + 18 = x - x + 6 + 18
  • 8x = 24
  • 8x / 8 = 24/8
  • x = 3

Krok 6. Napíšte svoju konečnú odpoveď

Vykonajte prieskum a dvakrát skontrolujte svoje kroky výpočtu. Keď ste si istí, že odpoveď je správna, napíšte ju.

• Príklad:

  x = 3